Question

Алгебра 15 б Методом математической индукции докажите, что при n∈N, значение выражения 13^n+ 5 кратное 6.

Answer 1

1) Базис индукции: n = 1

$13^1+5=18~\vdots ~6$

2) Предположим, что и для n = k выражение $\Big(13^k+5\Big)~\vdots~6$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$13^{k+1}+5=13\cdot 13^k+5=\Big(\underbrace{13^k+5}_{div~6}\Big)+12\cdot 13^k$

Первая скобка делится на 6 по предположению (второй пункт), ну а второе слагаемое делится на 6, поскольку выражение содержит сомножитель 12, следовательно, $\Big(13^n+5\Big)~\vdots~6$ для всех натуральных $n.$

Answer 2

Для доказательства данного утверждения методом математической индукции, мы должны выполнить два шага:

1. Базовый шаг: Доказать, что утверждение верно для n = 1.
2. Шаг индукции: Предположить, что утверждение верно для n = k и использовать это предположение для доказательства утверждения для n = k + 1.

Давайте приступим к доказательству:

1. Базовый шаг (n = 1): Подставим n = 1 в выражение 13^n + 5: 13^1 + 5 = 13 + 5 = 18. Число 18 является кратным 6, так как 18 = 6 * 3.

Таким образом, базовый шаг выполнен.

2. Шаг индукции (n = k): Предположим, что утверждение верно для n = k, то есть 13^k + 5 кратно 6.

Докажем, что утверждение верно для n = k + 1, то есть 13^(k+1) + 5 кратно 6.

Распишем выражение для n = k + 1, используя предположение индукции: 13^(k+1) + 5 = 13 * 13^k + 5.

Заметим, что 13 * 13^k можно записать как 12 * 13^k + 13^k.

Теперь рассмотрим выражение 12 * 13^k + 13^k + 5. Поскольку 12 * 13^k кратно 6 (так как 12 делится на 6 без остатка), нам нужно показать, что (12 * 13^k + 13^k + 5) также кратно 6.

(12 * 13^k + 13^k + 5) = (6 * 2 * 13^k + 13^k + 5) = 6 * (2 * 13^k + 13^k) + 5.

Заметим, что 2 * 13^k + 13^k = 3 * 13^k, поэтому:

6 * (2 * 13^k + 13^k) + 5 = 6 * (3 * 13^k) + 5 = 18 * 13^k + 5.

18 * 13^k является кратным 6 (так как 18 делится на 6 без остатка).

Таким образом, мы доказали, что (12 * 13^k + 13^k + 5) кратно 6.

Следовательно, по методу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, при n∈N, значение выражения 13^n + 5 кратное 6.