Question

Знайдіть, при якому значенні параметра k многочлен x^4-4x^3+kx^2-13x+6 ділиться на многочлен x-2

Answer 1

Многочлен $P(x)=x^4-4x^3+kx^2-13x+6$ делится на $(x-2)$, если остаток от деления P(x) на (x-2) равен нулю.

x - 2 = 0  откуда x = 2 - корень многочлена $P(x)$. Подставив этот корень в многочлен четвертой степени, получим

$P(2)=2^4-4\cdot 2^3+k\cdot 2^2-13\cdot 2+6=4k-36$ - остаток от деления многочлена P(x) на (x-2) и должен он равняться нулю

$4k - 36 = 0\\ 4k=36\\ k=9$

Ответ: при k = 9.

Answer 2

Щоб визначити, при якому значенні параметра k многочлен x^4 - 4x^3 + kx^2 - 13x + 6 ділиться на многочлен x - 2, потрібно знайти залишок від ділення цих двох многочленів і прирівняти його до нуля.

Ми можемо використовувати алгоритм ділення многочленів, щоб поділити многочлен x^4 - 4x^3 + kx^2 - 13x + 6 на x - 2.

markdownCopy code
                 k - 2
      ______________________

x - 2 | x^4 - 4x^3 + kx^2 - 13x + 6 - (x^4 - 2x^3) _________________ -2x^3 + kx^2 - 13x + (2x^3 - 4x^2) __________________ -4x^2 + kx - 13x + ( -4x^2 + 8x) ___________________ -5x - 13 + (-5x + 10) ________________ -3

Залишок від ділення -3 (константа).

Тепер ми знаємо, що многочлен x^4 - 4x^3 + kx^2 - 13x + 6 ділиться на многочлен x - 2, коли залишок дорівнює нулю. У цьому випадку, щоб залишок дорівнював нулю, потрібно, щоб -3 = 0.

Оскільки -3 ≠ 0, то не існує такого значення параметра k, при якому многочлен x^4 - 4x^3 + kx^2 - 13x + 6 ділиться на многочлен x - 2.