Question

здравствуйте,помогите пожалуйста решить дифференциональное уравнение y`+xy+x=0 при x=0, при у=1

Answer 1

$y'+x(y+1)=0\\ \\ y'=-x(y+1)$

Дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-x(y+1)~~~\Rightarrow~~\int \dfrac{dy}{y+1}=-\int xdx~~~\Rightarrow~~~ \ln|y+1|=-\dfrac{x^2}{2}+C\\ \\ \\ y+1=e^{-\frac{x^2}{2}+C}\\ \\ \\ y=Ce^{-\frac{x^2}{2}}-1$

Получили общее решение.

Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия

$1=Ce^{-\frac{0^2}{2}}-1~~~\Rightarrow~~~ C=2$

Частное решение: $y=2e^{-\frac{x^2}{2}}-1$

Answer 2

Здравствуйте!

Для решения данного дифференциального уравнения y' + xy + x = 0, мы должны найти функцию y(x), которая удовлетворяет данному уравнению, а также начальному условию y(0) = 1.

Для начала перепишем уравнение в форму, удобную для решения:

y' + xy + x = 0

y' = -xy - x

Теперь решим это дифференциальное уравнение. Метод решения - метод вариации постоянной. Предположим, что решение имеет вид:

y(x) = v(x) * e^(-x^2/2)

где v(x) - функция, которую нужно определить. Теперь возьмем производную y'(x):

y'(x) = v'(x) * e^(-x^2/2) - v(x) * x * e^(-x^2/2)

Подставим y(x) и y'(x) в исходное дифференциальное уравнение:

v'(x) * e^(-x^2/2) - v(x) * x * e^(-x^2/2) - x * v(x) * e^(-x^2/2) - x * e^(-x^2/2) = 0

Теперь упростим выражение:

v'(x) * e^(-x^2/2) - 2x * v(x) * e^(-x^2/2) - x * e^(-x^2/2) = 0

Теперь разделим на e^(-x^2/2):

v'(x) - (2x + x) * v(x) = 0

v'(x) - 3x * v(x) = 0

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Теперь проинтегрируем его:

∫(1/v) dv = 3∫x dx

ln|v| = (3/2)x^2 + C1

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь найдем значение v(x):

v(x) = e^(3x^2/2 + C1)

Теперь вернемся к исходной формуле y(x) = v(x) * e^(-x^2/2):

y(x) = e^(3x^2/2 + C1) * e^(-x^2/2)

y(x) = e^(x^2/2 + C1)

Теперь применяем начальное условие y(0) = 1:

y(0) = e^(0/2 + C1) = e^(C1) = 1

Отсюда получаем:

C1 = ln(1) = 0

Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения y' + xy + x = 0 с начальным условием y(0) = 1:

y(x) = e^(x^2/2)

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы или что-то не ясно, не стесняйтесь спрашивать.