Question

Найти производную y=((x^2)+1)^cosx

Answer 1

Ответ  во вложении Объяснение:

Answer 2

Для нахождения производной функции y=((x^2)+1)^cosx воспользуемся правилом дифференцирования функции вида u^v, где u и v - функции от переменной x.

Применим логарифмическое дифференцирование к исходной функции:

ln(y) = cosx * ln((x^2) + 1)

Теперь возьмем производную от обеих частей уравнения по переменной x:

(d/dx)ln(y) = (d/dx)[cosx * ln((x^2) + 1)]

Дифференцируем каждую часть по правилу производной композиции функций:

(d/dx)ln(y) = (d/dx)[cosx] * ln((x^2) + 1) + cosx * (d/dx)[ln((x^2) + 1)]

Теперь найдем производные каждой части уравнения:

(d/dx)ln(y) = -sinx * ln((x^2) + 1) + cosx * (1/((x^2) + 1)) * 2x

Так как мы нашли производную ln(y) по x, теперь найдем производную y по x, используя связь между ln(y) и y:

(d/dx)y = (d/dx)e^(ln(y))

Используем правило производной экспоненты:

(d/dx)y = e^(ln(y)) * (d/dx)ln(y)

Теперь заменим e^(ln(y)) на y и подставим найденные значения производных:

(d/dx)y = y * ((-sinx * ln((x^2) + 1)) + (2xcosx/((x^2) + 1)))

Таким образом, производная функции y=((x^2)+1)^cosx равна:

(d/dx)y = y * ((-sinx * ln((x^2) + 1)) + (2xcosx/((x^2) + 1)))

или

(d/dx)y = ((x^2)+1)^cosx * ((-sinx * ln((x^2) + 1)) + (2xcosx/((x^2) + 1)))