Question

Решите, пожалуйста: 1) 2cos^2x=1+sinx 2) 2sin^2x - 5sin*cosx +3cos^2x=0

Answer 1

Ответ:  1) (-1)ⁿ π/2+πn, где n∈Z ; (-1)ⁿ π/6+πn, где n∈Z

            2)  π/4 +πn,где n∈Z ;  arctg1,5+πn,где n∈Z .

Объяснение:

1)2cos²x=1+sinx;

  2(1-sin²x)=1+sinx;

  2-2sin²x-1-sinx=0;

  2sin²x+sinx-1=0;

Пусть sinx=y, тогда:

   2y²+y-1=0;

   D=1+8=9=3²;

   y₁₂  =(-1±3):4;

   у₁= -1  ; у₂=1/2.

  sinx= -1     или     sinx=1/2,

х= (-1)ⁿ π/2+πn, где n∈Z     или    x=(-1)ⁿ π/6+πn, где n∈Z.

Ответ: (-1)ⁿ π/2+πn, где n∈Z  или  (-1)ⁿ π/6+πn, где n∈Z

2) 2sin²x-5sinxcosx+3cos²x=0       (cos²x≠0,разделим обе части  

                                                       уравнения на cos²x)

2tg²x-5tgx+3=0,  

Пусть tgx=y, тогда:

2у²-5у+3=0;

D=25-24=1;

y₁₂=(5+1)/4;

у₁ =1;     у₂ = 1,5.

tgx=1     или     tgx=1,5

х=arctg1+πn,где n∈Z   или       x=arctg1,5+πn,где n∈Z    

х= π/4 +πn,где n∈Z    или      x=arctg1,5+πn,где n∈Z    

Ответ:  π/4 +πn,где n∈Z ;  arctg1,5+πn,где n∈Z .                          

Answer 2

Давайте решим данные уравнения:

1. 2cos^2x = 1 + sinx

Для начала, давайте перепишем sinx в терминах cosx, используя тождество: sin^2x + cos^2x = 1.

sinx = 1 - cos^2x

Теперь подставим это обратно в уравнение:

2cos^2x = 1 + (1 - cos^2x)

2cos^2x = 2 - cos^2x

Теперь соберем все члены с cos^2x на одной стороне:

2cos^2x + cos^2x = 2

3cos^2x = 2

Теперь разделим обе стороны на 3:

cos^2x = 2/3

Далее возьмем квадратный корень от обеих сторон:

cosx = ±√(2/3)

Так как cosx может быть положительным или отрицательным, то у нас есть два значения для x:

1. cosx = √(2/3)
2. cosx = -√(2/3)

Чтобы найти значения x, возьмем арккосинус от обеих сторон:

1. x = arccos(√(2/3))
2. x = arccos(-√(2/3))

Теперь вычислим числовые значения:

1. x ≈ 0.841 radians (или около 48.189 градусов)

2. x ≈ 2.301 radians (или около 131.811 градусов)

3. 2sin^2x - 5sinx*cosx + 3cos^2x = 0

Для удобства обозначим sinx как t и cosx как y:

2t^2 - 5ty + 3y^2 = 0

Это квадратное уравнение относительно t. Решим его с помощью дискриминанта (D):

D = b^2 - 4ac

где a = 2, b = -5 и c = 3:

D = (-5)^2 - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1

Теперь найдем значения t, используя квадратное уравнение:

t = (-b ± √D) / 2a

t = (5 ± √1) / 4

Таким образом, получим два значения для t:

1. t = (5 + 1) / 4 = 6 / 4 = 3 / 2 = 1.5
2. t = (5 - 1) / 4 = 4 / 4 = 1

Теперь восстановим значения sinx:

1. sinx = 1.5
2. sinx = 1

Однако, значения синуса не могут быть больше 1, поэтому второй вариант (sinx = 1) не подходит. Таким образом, оставляем только первый вариант:

sinx = 1.5

Однако это невозможно, так как значения синуса всегда находятся в пределах от -1 до 1. Таким образом, уравнение 2sin^2x - 5sinxcosx + 3cos^2x = 0 не имеет решений.