Question

Найти все корни уравнения , принадлежащего отрезку : 1)[-6п; 6п] Cos (x/3)=1/2 2)[ -п/2 ; п ] Sin 2x=-1/2

Answer 1

1)cos(x/3)=1/2

x/3=±П/3+2Пn,n принадлежит Z

x=±П+6Пn;

По отрезку:

x=±П;

2)sin2x=-1/2

2x=-П/6+Пn;n принадлежит Z

x=-П/12 + Пn/2

По отрезку:

x=-П/12;5П/12;11П/12

Answer 2

Чтобы найти все корни уравнения в заданных интервалах, нужно решить уравнения и проверить, что корни действительно принадлежат указанным интервалам. Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди:

1. $[-6\pi, 6\pi] \quad \cos\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{2}$

Для решения этого уравнения, сначала приведем его к виду $\cos(x) = \frac{1}{2}$, умножив обе части на 2:

$\cos\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{2} \implies 2\cos\left(\frac{x}{3}\right) = 1$

Теперь мы знаем, что $\cos(x) = 1$ имеет период $2\pi$, а $\frac{x}{3} = 0$ соответствует значениям $\cos(x) = 1$. Чтобы найти корни на интервале $[-6\pi, 6\pi]$, возьмем $x = 3k\pi$, где $k$ - целое число, и проверим, что $-6\pi \leq 3k\pi \leq 6\pi$:

$x = 3k\pi$

Для $k = -2$: $x = -6\pi$ (подходит) Для $k = -1$: $x = -3\pi$ (подходит) Для $k = 0$: $x = 0$ (не подходит, так как $0$ не входит в интервал $[-6\pi, 6\pi]$) Для $k = 1$: $x = 3\pi$ (подходит) Для $k = 2$: $x = 6\pi$ (подходит)

Таким образом, корни уравнения на интервале $[-6\pi, 6\pi]$ это $x = -6\pi, -3\pi, 3\pi, 6\pi$.

2. $[-\pi/2, \pi] \quad \sin(2x) = -\frac{1}{2}$

Для решения этого уравнения, разделим интервал $[-\pi/2, \pi]$ на два подинтервала:

1. $[-\pi/2, \pi/2]$
2. $(\pi/2, \pi]$

Для подинтервала $[-\pi/2, \pi/2]$, у нас есть $\sin(2x) \geq 0$, так как $\sin(2x)$ положителен на этом интервале. Однако, $-\frac{1}{2}$ отрицательно, поэтому уравнение не имеет корней на этом интервале.

Для подинтервала $(\pi/2, \pi]$, $\sin(2x) \leq 0$, и $-\frac{1}{2}$ также отрицателен. Найдем корни уравнения $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ на этом интервале:

$\sin(2x) = -\frac{1}{2}$

Для $k = 1$: $2x = \frac{7\pi}{6} \implies x = \frac{7\pi}{12}$ Для $k = 2$: $2x = \frac{11\pi}{6} \implies x = \frac{11\pi}{12}$

Таким образом, корни уравнения на интервале $(\pi/2, \pi]$ это $x = \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}$.

Итак, все корни уравнения на указанных интервалах:

1. $x = -6\pi, -3\pi, 3\pi, 6\pi$
2. $x = \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}$.