Question

|sin(x)|=cos(x) Решить уравнение

Answer 1

$|\sin x|=\cos x$

Раскроем модуль:

$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \sin x=\cos x \\ \sin x\geq 0 \end{array}\\ \left\{\begin{array}{l} -\sin x=\cos x \\ \sin x$

$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{tg} x=1 \\ \sin x\geq 0 \end{array}\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{tg} x=-1 \\ \sin x$

$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x=\frac{\pi }{4}+\pi k \\ \sin x\geq 0 \end{array}\\ \left\{\begin{array}{l} x=-\frac{\pi }{4}+\pi k \\ \sin x$

$\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi }{4}+2\pi k \\ x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k \end{array}$

$x=\pm\dfrac{\pi }{4}+2\pi k, \ k\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\pm\dfrac{\pi }{4}+2\pi k, \ k\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения уравнения |sin(x)| = cos(x) мы будем рассматривать два случая: когда sin(x) ≥ 0 и когда sin(x) < 0.

При sin(x) ≥ 0: У нас есть |sin(x)| = sin(x), так как sin(x) уже положительно. Тогда уравнение принимает вид: sin(x) = cos(x)

Теперь при sin(x) < 0: В этом случае |sin(x)| = -sin(x), так как мы возьмем абсолютное значение отрицательного числа. Тогда уравнение примет вид: -sin(x) = cos(x)

Давайте решим каждый случай по отдельности:

1. При sin(x) = cos(x): Приведем оба терма к одной стороне уравнения: sin(x) - cos(x) = 0

Используя тригонометрический тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, мы можем заменить cos^2(x) в уравнении: sin(x) - √(1 - sin^2(x)) = 0

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: sin^2(x) - (1 - sin^2(x)) = 0 sin^2(x) - 1 + sin^2(x) = 0 2sin^2(x) - 1 = 0 2sin^2(x) = 1 sin^2(x) = 1/2

Теперь находим значения sin(x): sin(x) = ±√(1/2) sin(x) ≈ ±0.707

Используя калькулятор, мы находим два приближенных решения для x:

1. sin(x) ≈ 0.707: x ≈ arcsin(0.707) ≈ 45°

2. sin(x) ≈ -0.707: x ≈ arcsin(-0.707) ≈ -45°

2. При -sin(x) = cos(x): Также приведем оба терма к одной стороне уравнения: -sin(x) - cos(x) = 0

По аналогии с предыдущим случаем, мы используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и заменим cos^2(x) в уравнении: -sin(x) - √(1 - sin^2(x)) = 0

Возводим обе стороны уравнения в квадрат: sin^2(x) - 2sin(x) + 1 = 0

Это квадратное уравнение по sin(x). Решим его, используя дискриминант:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0

Поскольку дискриминант равен 0, у нас есть одно решение для sin(x):

sin(x) = -b/2a = 2/2 = 1

Однако, мы знаем, что -1 ≤ sin(x) ≤ 1, поэтому у нас нет решений в этом случае.

Итак, уравнение |sin(x)| = cos(x) имеет два решения:

1. x ≈ 45°
2. x ≈ -45°