Question

4sinx+4cosx=1 помогите,пожалуйста)

Answer 1

4sinx + 4cosx = 1

Итак, задачка на первый взгляд несложная, но для ее решения необходимо помнить о конструктивных оборотных формулах:

$\sin(x) = \frac{2 \tan( \frac{x}{2} ) }{1 + \tan( \frac{x}{2} )^{2} }$

и

$\cos(x) = \frac{1 - \tan( \frac{x}{2} ) ^{2} }{1 + \tan( \frac{x}{2} ) ^{2} }$

Перейдя к тангенсу - останется лишь произвести расчеты.

Получаем:

$4 \times \frac{2 \tan( \frac{x}{2} ) }{1 + \tan( \frac{x}{2} )^{2} } + 4 \times \frac{1 - \tan( \frac{x}{2} )^{2} }{1 + \tan( \frac{x}{2} ) ^{2} } = 1$

Предлагаю ввести замену

tan(x/2) = t

$4 \times \frac{2t}{1 + {t}^{2} } + 4 \times \frac{1 - {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } = 1$

$\frac{8t + 4 - 4t ^{2} - 1 - {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } = 0$

$\frac{8t + 3 - 5 {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } = 0$

- 5t² + 8t + 3 = 0

5t² - 8t - 3 = 0

D = b² - 4ac = 64 - 4 × 5 × (-3) = 124

t(1;2) = (8±√124)/10

$t = \frac{4 + \sqrt{31} }{5}$

$t = \frac{4 - \sqrt{31} }{5}$

Вернемся к замене:

tan(x/2) = (4+√31)/5

x = 2arctan((4+√31)/5)+2πn; n € z

tan(x/2) = (4-√31)/5

x = 2arctan((4-√31)/5)+2πn; n € z

Ответ: 2arctan((4+√31)/5)+2πn и 2arctan((4-√31)/5)+2πn причем в обоих n € z

Answer 2

Для решения уравнения 4sinx + 4cosx = 1, давайте преобразуем его и найдем значение переменной x.

1. Разделим все слагаемые на 4: sinx + cosx = 1/4

2. Мы знаем, что sin(x) = cos(π/2 - x) и cos(x) = sin(π/2 - x). Заменим sinx и cosx соответственно на cos(π/2 - x) и sin(π/2 - x):

   cos(π/2 - x) + sin(π/2 - x) = 1/4

3. Объединим два слагаемых на левой стороне суммой тригонометрических функций: cos(π/2 - x) + sin(π/2 - x) = sin(π/2 - x) + cos(π/2 - x)

4. Теперь обратим внимание на идентичность sin(x) + cos(x) = √2 * sin(x + π/4). Заменим слева и справа: √2 * sin(π/2 - x) = √2 * sin(π/2 - x)

5. Избавимся от √2, поделив обе стороны уравнения на √2: sin(π/2 - x) = sin(π/2 - x)

6. Это уравнение верно для любого значения угла x, так как sin(x) = sin(-x). Это значит, что уравнение имеет бесконечно много решений.

7. Давайте выразим x: π/2 - x = πk, где k - целое число

   x = π/2 - πk

Таким образом, общее решение уравнения 4sinx + 4cosx = 1 выглядит следующим образом: x = π/2 - πk, где k - целое число.