Question

Найти определенный интеграл Интеграл 2pi cos(x/4)^8 dx 0

Answer 1

$\int cos^8\frac{x}{4}\, dx=\Big[\; cos^2\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2}\; \Big]=\int \Big(\frac{1+cos\frac{x}{2}}{2}\Big)^4\, dx=\\\\=\frac{1}{16}\int \Big(1+4cos^3\frac{x}{2}+6cos^2\frac{x}{2}+4cos\frac{x}{2}+(cos^2\frac{x}{2})^2\Big)dx=\\\\=\frac{1}{16}\cdot \Big(x+4\int (1-sin^2\frac{x}{2})\cdot cos\frac{x}{2}\, dx+4\int cos\frac{x}{2}\, dx+\int \Big(\frac{1+cosx}{2}\Big)^2\Big)=$

$=\frac{x}{16}+\frac{1}{4}\cdot \Big (\int cos\frac{x}{2}\, dx-2\int sin^2\frac{x}{2}\cdot d(sin\frac{x}{2})\Big)+\frac{1}{2}\cdot sin\frac{x}{2}+\\\\+\frac{1}{16\cdot 4}\int (1+2cosx+cos^2x)\, dx=\frac{x}{16}+\frac{1}{2}\cdot sin\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{sin^3\frac{x}{2}}{3}+\frac{1}{2}\cdot sin\frac{x}{2}+\\\\+\frac{1}{64}\cdot (x+2sinx+\int \frac{1+cos2x}{2}\, dx)=$

$=\frac{x}{16}+sin\frac{x}{2}-\frac{1}{6}\cdot sin^3\frac{x}{2}+\frac{x}{64}+\frac{1}{32}\cdot sinx+\frac{1}{128}\, x+\frac{1}{256}\, sin2x+C\; ;\\\\\\\int \limits _0^{2\pi }cos^8\frac{x}{4}\, dx=(\frac{x}{16}+sin\frac{x}{2}-\frac{1}{6}\cdot sin^3\frac{x}{2}+\frac{x}{64}+\frac{1}{32}\cdot sinx+\frac{1}{128}\, x+\frac{1}{256}\, sin2x)\Big|_0^{2\pi }=\\\\=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi }{32}+\frac{\pi}{64}=\frac{11\pi}{64}$

Answer 2

Для вычисления данного определенного интеграла необходимо заметить, что функция подынтегрального выражения, 2π cos(x/4)^8, является четной функцией. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (y-оси).

Определенный интеграл четной функции на симметричном интервале [-a, a] равен удвоенному значению интеграла функции на половине интервала [0, a]. Исходя из этого, интеграл функции 2π cos(x/4)^8 на интервале [0, 2π] равен двукратному значению интеграла на интервале [0, π]:

∫[0, 2π] 2π cos(x/4)^8 dx = 2 * ∫[0, π] 2π cos(x/4)^8 dx.

Теперь мы можем вычислить интеграл на интервале [0, π]:

∫[0, π] 2π cos(x/4)^8 dx.

Для интегрирования этой функции, воспользуемся методом замены переменной. Пусть t = x/4, тогда dt = (1/4) dx. Теперь заменим пределы интегрирования:

Когда x = 0, t = 0, Когда x = π, t = π/4.

Теперь интеграл станет:

∫[0, π] 2π cos(x/4)^8 dx = 2π * 4 * ∫[0, π/4] cos(t)^8 dt.

Теперь мы можем вычислить интеграл ∫[0, π/4] cos(t)^8 dt. Найдем первообразную (производную) cos(t)^8:

∫ cos(t)^8 dt = (1/9) * cos(t)^9 + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь вычислим интеграл на интервале [0, π/4]:

∫[0, π/4] cos(t)^8 dt = (1/9) * cos(t)^9 |[0, π/4] = (1/9) * (cos(π/4)^9 - cos(0)^9) = (1/9) * ((√2/2)^9 - 1) = (1/9) * (√2^9/2^9 - 1) = (1/9) * (√2 - 1).

Теперь вернемся к исходному интегралу:

∫[0, π] 2π cos(x/4)^8 dx = 2π * 4 * ∫[0, π/4] cos(t)^8 dt = 8π * (1/9) * (√2 - 1) = (8π/9) * (√2 - 1).

Таким образом, определенный интеграл ∫[0, 2π] 2π cos(x/4)^8 dx равен (8π/9) * (√2 - 1).