Question

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если S3=2; S6=56

Answer 1

$\boxed {\; S_{n}=\frac{b_1\, (q^{n}-1)}{q-1}\; }\\\\\\S_{3}=\dfrac{b_1\, (q^{3}-1)}{q-1}=2\; \; ,\; \; \; S_{6}=\dfrac{b_1\, (q^{6}-1)}{q-1}=56\\\\\\q-1=\dfrac{b_1\, (q^3-1)}{2}=\dfrac{b_1\, (q^6-1)}{56}\\\\\\28\, b_1\, (q^3-1)=b_1\, (q^6-1)\; \; |:b_1\ne 0\\\\28\, (q^3-1)=(q^3-1)(q^3+1)\; \; |:(q^3-1)\ne 0\\\\28=q^3+1\\\\q^3=27\\\\\boxed {\; q=3\; }$

Answer 2

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = a_1 \cdot \frac{{1 - q^n}}{{1 - q}},$

где $S_n$ - сумма первых n членов, $a_1$ - первый член геометрической прогрессии и $q$ - знаменатель геометрической прогрессии.

Мы знаем, что $S_3 = 2$ и $S_6 = 56$. Тогда:

$S_3 = a_1 \cdot \frac{{1 - q^3}}{{1 - q}} = 2,$ $S_6 = a_1 \cdot \frac{{1 - q^6}}{{1 - q}} = 56.$

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений, чтобы найти $a_1$ и $q$.

Разделим уравнения $S_6$ и $S_3$, чтобы устранить $a_1$:

$\frac{{S_6}}{{S_3}} = \frac{{a_1 \cdot \frac{{1 - q^6}}{{1 - q}}}}{{a_1 \cdot \frac{{1 - q^3}}{{1 - q}}}}.$

$\frac{{S_6}}{{S_3}} = \frac{{1 - q^6}}{{1 - q^3}}.$

Подставим известные значения $S_6 = 56$ и $S_3 = 2$:

$\frac{{56}}{{2}} = \frac{{1 - q^6}}{{1 - q^3}}.$

$28 = \frac{{1 - q^6}}{{1 - q^3}}.$

Теперь умножим обе стороны на $1 - q^3$:

$28 \cdot (1 - q^3) = 1 - q^6.$

$28 - 28 \cdot q^3 = 1 - q^6.$

Перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$q^6 - q^3 - 27 = 0.$

Теперь это уравнение квадратного вида для $q^3$, давайте заменим $q^3$ на $x$:

$x^2 - x - 27 = 0.$

Теперь решим это уравнение квадратного типа:

$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}},$

где $a = 1$, $b = -1$, и $c = -27$.

<