Question

Докажите неравенства: а)(a+b)(b+c)(a+c) > 8abc при a>0, b>0, c>0 б)(a+1)(b+1) ≥ 4√(ab) при a>0,b>0 в)√(ab)+√(bc)+√(ac) ≤ a+b+c при a>0,b>0,c>0 4)√((a+b)(c+d)) ≤ 1/2(a+c+b+d) при a>0,b>0,c>0,d>0 Заранее спасибо.

Answer 1

Ответ:

По неравенству Коши

a+b\geqslant2\sqrt{ab}\\ b+c\geqslant2\sqrt{bc}\\ c+a\geqslant2\sqrt{ca}

Умножив все три неравенства, получим:

(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8abc

Что и требовалось доказать.

Объяснение:

Answer 2

Давайте докажем каждое неравенство по порядку:

а) (a+b)(b+c)(a+c) > 8abc при a>0, b>0, c>0:

Доказательство: Раскроем скобки в левой части неравенства: (a+b)(b+c)(a+c) = a(b+c)(b+c) + b(a+c)(a+c) + c(a+b)(a+b) + 2abc = a(b^2 + 2bc + c^2) + b(a^2 + 2ac + c^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) + 2abc = a(b^2 + c^2) + b(a^2 + c^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc + 2abc + 2abc = a(b^2 + c^2) + b(a^2 + c^2) + c(a^2 + b^2) + 6abc.

Теперь рассмотрим правую часть неравенства: 8abc = 2 * 2 * 2 * abc.

Сравнивая выражения, мы видим, что каждое слагаемое в левой части (a(b^2 + c^2), b(a^2 + c^2), c(a^2 + b^2)) больше соответствующего слагаемого в правой части (2abc). Это верно, потому что при a > 0, b > 0 и c > 0, квадраты чисел b и c, а также a и c, а также a и b, будут положительными.

Таким образом, мы доказали, что каждое слагаемое в левой части неравенства больше соответствующего слагаемого в правой части, следовательно, (a+b)(b+c)(a+c) > 8abc при a > 0, b > 0, c > 0.

б) (a+1)(b+1) ≥ 4√(ab) при a > 0, b > 0:

Доказательство: Раскроем скобки в левой части неравенства: (a+1)(b+1) = ab + a + b + 1.

Теперь рассмотрим правую часть неравенства: 4√(ab) = 2 * 2 * √(ab) = 2√(ab).

Для упрощения дальнейшего доказательства, заметим, что ab = √(ab) * √(ab) ≥ 2√(ab) (по неравенству о средних арифметическом и среднем геометрическом).

Теперь сравним выражения: ab + a + b + 1 ≥ 2√(ab) + a + b + 1.

Заметим, что a и b положительны, поэтому можно вычесть их из обеих частей неравенства: ab ≥ 2√(ab).

Мы уже установили это выше, поэтому данное неравенство верно.

Таким образом, мы доказали, что (a+1)(b+1) ≥ 4√(ab) при a > 0, b > 0.

в) √(ab) + √(bc) + √(ac) ≤ a + b + c при a > 0, b > 0, c > 0:

Доказательство: Для начала заметим, что данное неравенство напоминает неравенство между арифметическим и геометрическим средними, но с заменой чисел a, b и c на их корни √(a), √(b) и √(c).

Теперь воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел √(a), √(b) и √(c): (√(a) + √(b) + √(c)) / 3 ≥ (√(a) * √(b) * √(c))^(1/3).

Теперь возведем обе части неравенства в степень 2: ((√(a) + √(b) + √(c)) / 3)^2 ≥ ((√(a) * √(b) * √(c))^(1/3))^2.

Упростим: (√(a) + √(b) + √(c))^2 / 9 ≥ (√(a) * √(b) * √(c))^(2/3).

Теперь заметим, что (√(a) + √(b) + √(c))^2 = a + b + c + 2√(ab) + 2√(ac) + 2√(bc) (по формуле квадрата суммы трех слагаемых).

Также (√(a) * √(b) * √(c))^(2/3) = √(ab) * √(bc) * √(ac) = √(ab * bc * ac) = √(a * b * c)^2 = a * b * c (поскольку a, b и c положительны).

Теперь заменим эти выражения в неравенстве: (a + b + c + 2√(ab) + 2√(ac) + 2√(bc)) / 9 ≥ a * b * c.

Умножим обе части неравенства на 9 (обратное действие к делению на 9): a + b + c + 2√(ab) + 2√(ac) + 2√(bc) ≥ 9 * a * b * c.

Теперь вычтем из левой части нерав