Question

Cos4x=cos^23x Помогите пожалуйста решить

Answer 1

Решить уравнение :        Cos4x =  cos²3x

* * * * * * * * * * *

Ответ:  x =πn , n∈ℤ ;   ±π/12 + (π/2)*k ,  k ∈ℤ .

Объяснение:

* * * cos3α =4cos³α -3cosα ; cos2α =cos²α -sin²α =2cos²α -1 * * *

Cos4x=  cos²3x ⇔ Cos4x=  (1+cos6x)/2 ⇔2Cos4x = 1+cos6x ⇔

2Cos(2*2x) =  1+cos(3*2x) ⇔2(2Cos²2x - 1) = 1 +4cos³2x -3cos2x⇔

4cos³2x  - 4cos²2x -3cos2x +3=0⇔4cos²2x(cos2x -1) -3(cos2x -1) =0⇔

(cos2x -1)(4cos²2x-3) =0 ⇔(cos2x - 1)(4*(1+cos4x) /2 -3) =0 ⇔

(cos2x - 1)(2cos4x - 1) =0 ⇔

2(cos2x - 1)(cos4x -1/2) =0

a) cos2x - 1 =0 ⇔cos2x =1 ⇒2x =2πn , n∈ℤ   ⇔ x =πn , n∈ℤ

б) cos4x  - 1/2 =0 ⇔ cos4x  = 1/2 ⇒4x =±π/3 +2πk ,  k n∈ℤ

⇔ x =  ±π/12 + (π/2)*k ,  k ∈ℤ .

Answer 2

Для решения уравнения cos(4x) = cos^2(3x) будем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования.

1. Используем тождество cos(2x) = 2cos^2(x) - 1: cos(4x) = cos(2 * 2x) = 2cos^2(2x) - 1.

2. Теперь заменим cos^2(2x) по тождеству cos(2x) = 2cos^2(x) - 1: cos(4x) = 2 * (2cos^2(x) - 1) - 1 cos(4x) = 4*cos^2(x) - 3.

3. Заменим cos^2(3x) по тождеству cos(2x) = 2cos^2(x) - 1: cos^2(3x) = cos^2(2 * 3x) = (2cos^2(3x) - 1)^2 cos^2(3x) = 4cos^4(3x) - 4cos^2(3x) + 1.

Теперь уравнение стало: 4cos^2(x) - 3 = 4cos^4(3x) - 4*cos^2(3x) + 1.

Перенесем все члены в одну сторону уравнения: 4cos^4(3x) - 4cos^2(3x) + 4*cos^2(x) - 3 - 1 = 0.

Упростим: 4cos^4(3x) - 4cos^2(3x) + 4*cos^2(x) - 4 = 0.

Теперь делим всю исходную формулу на 4: cos^4(3x) - cos^2(3x) + cos^2(x) - 1 = 0.

Введем вспомогательную переменную y = cos^2(x), тогда уравнение примет вид: y^2 - cos^2(3x) + y - 1 = 0.

Теперь заменим cos^2(3x) по тождеству cos(2x) = 2cos^2(x) - 1: y^2 - (2y - 1) + y - 1 = 0.

Упростим: y^2 + y - 2 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение: (y + 2)(y - 1) = 0.

Получаем два значения y:

1. y + 2 = 0 => y = -2.
2. y - 1 = 0 => y = 1.

Теперь восстановим переменную x:

1. y = cos^2(x) = -2. Но такого значения не существует, так как косинус квадрата числа не может быть отрицательным.
2. y = cos^2(x) = 1 => cos(x) = ±√1 => cos(x) = ±1.

Таким образом, решением уравнения cos(4x) = cos^2(3x) являются все значения x, при которых cos(x) равен 1 или -1. Это значит, что решениями являются: x = π/2 + 2πk, где k - целое число. x = -π/2 + 2πk, где k - целое число.

Это все значения x, при которых выполняется условие уравнения.