Question

СРОЧНО!!! Прошу помочь решить уравнение из комбинаторики. Не могу никак дойти до ответа! Буду вам очень признательна и благодарна! Найти n, если Pn+5\Pn-k=240*P3+n\(n-k)!

Answer 1

$\dfrac{P_{n+5}}{P_{n-k}}=\d240\cdot \dfrac{P_{3+n}}{(n-k)!}\\\\\\\dfrac{P_{n+5}}{(n-k)!}=240\cdot \dfrac{P_{3+n}}{(n-k)!}\\\\\\P_{n+5}=240\cdot P_{3+n}}\\\\(n+5)!=240\cdot (n+3)!\\\\\dfrac{(n+5)!}{(n+3)!}=240\\\\\\\dfrac{(n+3)!\, \cdot \, (n+4)(n+5)}{(n+3)!}=240\\\\\\(n+4)(n+5)=240\\\\n^2+9n+20=240\\\\n^2+9n-220=0\; \; ,\; \; D=961=31^2\; ,\\\\n_1=-20\notin N\; \; \; ,\; \; \; \;n_2=11\\\\Otvet:\; \; n=11\; .$

Answer 2

решения смотрите во вложении

Answer 3

Хорошо, давайте разберем уравнение шаг за шагом.

Уравнение имеет следующий вид: $\frac{P_{n+5}}{P_{n-k}} = \frac{240 \cdot P_{3+n}}{(n-k)!}$

Где $P_n$ - это символы Паде, которые используются в комбинаторике. Для упрощения обозначений, давайте заменим $P_{3+n}$ на $P'$: $\frac{P_{n+5}}{P_{n-k}} = \frac{240 \cdot P'}{(n-k)!}$

Теперь давайте выразим каждую из величин:

1. $P_{n+5}$ - это символы Паде для $n+5$.
2. $P_{n-k}$ - это символы Паде для $n-k$.
3. $P'$ - это символы Паде для $3+n$, то есть $P' = P_{n+3}$.
4. $(n-k)!$ - это факториал $(n-k)$.

Теперь у нас есть выражения для всех величин, и мы можем записать уравнение с использованием их: $\frac{P_{n+5}}{P_{n-k}} = \frac{240 \cdot P_{n+3}}{(n-k)!}$

Теперь давайте обратим внимание на то, что символы Паде - это целые числа и имеют определенные свойства. Если $P_{n+5}$ делится на $P_{n-k}$, то это значит, что их отношение - целое число. То есть: $\frac{P_{n+5}}{P_{n-k}} = \text{целое число}$

Также, если $P_{n+5}$ делится на $P_{n-k}$, то $n+5$ делится на $n-k$ (так как символы Паде определены через биномиальные коэффициенты). Итак, у нас есть следующие условия:

1. $\frac{P_{n+5}}{P_{n-k}} = \text{целое число}$
2. $n+5$ делится на $n-k$

Теперь давайте рассмотрим $\frac{240 \cdot P_{n+3}}{(n-k)!}$. Нам нужно найти такое значение $n$, чтобы это было целым числом. Если $(n-k)!$ делится на 240, то это условие будет выполняться. Посмотрим на разложение 240 на простые множители:

$240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$

Теперь давайте рассмотрим, когда $(n-k)!$ делится на 240:

1. $(n-k) \geq 5$ - в этом случае, факториал $(n-k)!$ будет содержать $2^4$, $3$ и $5$, и условие выполнится.
2. $(n-k) = 4$ - в этом случае, факториал $(n-k)! = 4! = 24$, и условие выполняется.
3. $(n-k) = 3$ - в этом случае, факториал $(n-k)! = 3! = 6$, и условие тоже выполняется.
4. $(n-k) = 2$ - в этом случае, факториал $(n-k)! = 2! = 2$, и условие также выполняется.

Таким образом, у нас есть несколько значений $n$, при которых уравнение выполняется:

1. $n+5 = 5 \Rightarrow n = 0$