Question

Sin (30°+x)cos (30°-x) преобразуйте произведение в сумму

Answer 1

Объяснение:

на фото..................

Answer 2

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму можно использовать тригонометрические идентичности. Одной из таких идентичностей является идентичность синуса двойного угла:

$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$.

Применим эту идентичность к заданному выражению:

$\sin(30°+x)\cos(30°-x) = 2\sin\left(\frac{30°+x}{2}\right)\cos\left(\frac{30°+x}{2}\right)$.

Теперь мы имеем произведение синуса и косинуса двойного угла. Мы можем преобразовать его с использованием идентичности синуса двойного угла еще раз:

$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$.

Здесь $\theta = \frac{30°+x}{2}$, поэтому:

$\sin\left(\frac{30°+x}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{15°+x/2}{2}\right)\cos\left(\frac{15°+x/2}{2}\right)$.

Теперь у нас есть произведение синуса и косинуса половинного угла. Мы можем использовать идентичность половинного угла:

$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}$.

Применяя это к выражению:

$\sin\left(\frac{15°+x/2}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos(15°+x/2)}{2}}$.

Аналогично, для косинуса половинного угла:

$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}$.

Применяя это к выражению:

$\cos\left(\frac{15°+x/2}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos(15°+x/2)}{2}}$.

Итак, мы получили преобразованное выражение:

$2\sqrt{\frac{1-\cos(15°+x/2)}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1+\cos(15°+x/2)}{2}}$.

Сокращая корни:

$2\sqrt{\frac{1-\cos^2(15°+x/2)}{2}} = 2\sqrt{\frac{\sin^2(15°+x/2)}{2}} = \sqrt{2}\sin(15°+x/2)$.

Таким образом, произведение $\sin(30°+x)\cos(30°-x)$ может быть преобразовано в $\sqrt{2}\sin(15°+x/2)$.