Question

Решите неравенство sinx+cosx > 1

Answer 1

$\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)>1\\\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)>\frac{\sqrt{2}}{2}\\\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n$

$\frac{\pi }{4}+x$

$x>2\pi n\quad \mathrm{ \& }\quad \:x$

Answer 2

Давайте решим неравенство sin(x) + cos(x) > 1. Сначала перенесем 1 на другую сторону:

sin(x) + cos(x) - 1 > 0.

Заметим, что нам может помочь факт, что максимальное значение суммы sin(x) и cos(x) равно sqrt(2) (когда оба синус и косинус равны 1). Так как нам нужно значение больше 1, мы видим, что это возможно только в определенных диапазонах углов.

1. Когда sin(x) > 1 и cos(x) > 0: Это происходит в первой четверти (0 < x < π/2).

2. Когда cos(x) > 1 и sin(x) < 0: Это происходит во второй четверти (π/2 < x < π).

Таким образом, решением неравенства sin(x) + cos(x) > 1 является объединение интервалов [0, π/2) и (π/2, π). В этих интервалах сумма sin(x) и cos(x) будет больше 1.

Общее решение: x ∈ [0, π/2) ∪ (π/2, π).