Question

Даю 20 балов за задачку Доведіть, що 5³⁰ – 5²⁹ – 5²⁸ ділиться на 19.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

5³⁰- 5²⁹- 5²⁸=5²⁸(5²-5-1)=5²⁸(25-5-1)=19*5²⁸

Один из множителей числа 19!

Answer 2

Завдання полягає у доведенні, що вираз $5^{30} - 5^{29} - 5^{28}$ ділиться на 19.

Для цього ми можемо скористатися малим теоремою Ферма, яка говорить, що якщо $p$ — просте число і $a$ не ділиться на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В даному виразі $a = 5$ і $p = 19$ (оскільки 19 є простим числом). Отже, за теоремою Ферма, ми можемо записати:

$5^{19-1} \equiv 1 \pmod{19}$

Спростимо показник степеня:

$5^{18} \equiv 1 \pmod{19}$

Знаючи це, ми можемо розглянути заданий вираз:

$5^{30} - 5^{29} - 5^{28} = 5^{28} \cdot (5^{2} - 5 - 1)$

Залишаємо під виглядом множника $5^{28}$, а решту факторізуємо:

$5^{2} - 5 - 1 = 25 - 5 - 1 = 19$

Таким чином, ми отримали:

$5^{30} - 5^{29} - 5^{28} = 5^{28} \cdot 19$

Оскільки $5^{28}$ ділиться на 19 (згідно з малим теоремою Ферма), то і весь вираз $5^{30} - 5^{29} - 5^{28}$ також ділиться на 19.