Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції f(x)=8x²-x⁴ . І побудуйте її графік. (30 БАЛОВ ДАЮ)

Answer 1

производная равна f'(x)=16х-4х³=4х*(4-х²)

критические точки х=±2, х=0

Решим неравенство f'≥0 методом интервалов.

____-2___0______2_________

+            -           +             -

На промежутках (-∞; -2] и [0;2] функция возрастает, там производная неотрицательна

На промежутках [-2;0] и[2;+∞) убывает.

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання і спадання функції $f(x) = 8x^2 - x^4$, спершу знайдемо похідну функції і дослідимо її знаки.

Похідна функції $f(x)$ за правилом степеневої похідної:

$f'(x) = 16x - 4x^3$

Тепер знайдемо точки, в яких похідна дорівнює нулю, і визначимо знаки похідної між цими точками:

$16x - 4x^3 = 0$ $4x(4 - x^2) = 0$ $x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2$

Побудуємо таблицю знаків похідної:

$$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & -2 & 0 & 2 & +\infty \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$

Тепер за допомогою знаків похідної можна визначити проміжки зростання і спадання функції $f(x)$:

1. Проміжок зростання: $(-2, 0)$
2. Проміжок спадання: $(0, 2)$

Тепер ми можемо побудувати графік функції $f(x)$ та виділити знайдені проміжки зростання і спадання:

На графіку видно, що функція спочатку зростає на проміжку $(-2, 0)$, а потім спада на проміжку $(0, 2)$.