Question

Исследовать функцию и построить график y = x^3-6x^2+9x Срочно!!!

Answer 1

Ответ:

у=х³-6х²+9х

у'=3х²-12х+9

3х²-12х+9=0

х1=3

х2=1

x max∈[-∞;1]

x min ∈[1;∞]

Объяснение:

Answer 2

Конечно, я помогу вам исследовать данную функцию и построить её график. Функция имеет вид: y = x^3 - 6x^2 + 9x.

Давайте начнем с анализа основных характеристик функции.

1. Нули функции (корни уравнения y = 0): Для найти нули функции, нужно решить уравнение x^3 - 6x^2 + 9x = 0. Факторизуя это уравнение, получим: x(x^2 - 6x + 9) = 0. Таким образом, x = 0 и x^2 - 6x + 9 = 0. Решая второе квадратное уравнение, получаем x = 3 (дважды). Итак, нули функции: x = 0 и x = 3.

2. Производная функции (первая производная): Производная функции y = x^3 - 6x^2 + 9x равна y' = 3x^2 - 12x + 9.

3. Точки экстремума: Чтобы найти точки экстремума, решим уравнение производной равной нулю: 3x^2 - 12x + 9 = 0. Решая это уравнение, получим x = 1 (дважды). Теперь, чтобы определить характер экстремума, можно анализировать знак производной в окрестностях найденных значений x.

4. Интервалы возрастания и убывания: Производная y' = 3x^2 - 12x + 9 равна нулю при x = 1 (дважды). В окрестности x < 1 производная отрицательна (парабола направлена вниз), а в окрестности x > 1 производная положительна. Это означает, что функция убывает на интервале (-∞, 1) и возрастает на интервале (1, +∞).

5. Вторая производная и выпуклость: Вторая производная y'' = 6x - 12. При x = 1, y'' = -6, что указывает на максимум. Это подтверждает, что точка x = 1 - точка локального максимума.

Теперь мы можем построить график функции:

На графике видно, что функция имеет локальный максимум в точке (1, 4) и пересекает ось X в точках (0, 0) и (3, 0). Она убывает на интервале (-∞, 1) и возрастает на интервале (1, +∞).

Пожалуйста, обратите внимание, что график был нарисован приблизительно и может немного различаться в зависимости от масштаба и точности построения.