Question

3. При каких значениях параметра к уравнение х2 – 2(к-1)х + 4к2 = 0 имеет не более одного корня?

Answer 1

Ответ:

...............................

Answer 2

Для того чтобы уравнение $x^2 - 2(k-1)x + 4k^2 = 0$ имело не более одного корня, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю или быть отрицательным. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = -2(k-1)$ и $c = 4k^2$.

Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то у уравнения будет один корень. Подставим значения в формулу для дискриминанта и приравняем к нулю:

$0 = (-2(k-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4k^2$

$0 = 4(k-1)^2 - 16k^2$

$0 = 4(k^2 - 2k + 1) - 16k^2$

$0 = 4k^2 - 8k + 4 - 16k^2$

$0 = -12k^2 - 8k + 4$

Это квадратное уравнение для параметра $k$. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение или факторизацию:

$-12k^2 - 8k + 4 = 0$

$-3k^2 - 2k + 1 = 0$

$(3k-1)(k+1) = 0$

Отсюда получаем два значения для параметра $k$: $k_1 = \frac{1}{3}$ и $k_2 = -1$.

Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то у уравнения также будет только один корень. Подставим значения в формулу для дискриминанта и посмотрим, при каких значениях параметра $k$ дискриминант будет отрицательным:

$D = (-2(k-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4k^2 < 0$

$4(k-1)^2 - 16k^2 < 0$

$4(k^2 - 2k + 1) - 16k^2 < 0$

$4k^2 - 8k + 4 - 16k^2 < 0$

$-12k^2 - 8k + 4 < 0$

Это квадратное неравенство для параметра $k$. Мы можем решить его, используя факторизацию:

$-12k^2 - 8k + 4 < 0$

$(3k-1)(k+1) < 0$

Исследуя знаки множителей, мы можем определить интервалы, при которых неравенство выполняется:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 3k - 1 & k + 1 \\ \hline k < -1 & - & - \\ \hline -1 < k < \frac{1}{3} & - & + \\ \hline k > \frac{1}{3} & + & + \\ \hline \end{array}$$

Таким образом, значения параметра $k$ должны находиться в интервале $-1 < k < \frac{1}{3}$, чтобы дискриминант был отрицательным и уравнение имело только один корень.

Итак, при $k = \frac{1}{3}$