Question

Найти точки экстремума функции y=x/4+4/x С подробным решением!

Answer 1

найдем производную. приравняем к нулю. найдем критические точки, разобьем ими нулем числовую ось на интервалы, установим знаки производной при переходе через критические точки, если знак меняется с плюса на минус, то это точка максимума, если с минуса на плюс. то точка  минимума.

y'=(x/4+4/x)'=1/4-4/x²=(х²-4)/4х²=(х-2)(х+2)/4х²

_______-2____0_____2______

+                  -          -             +

т.о., х=-2 - точка максимума, х=2- точка минимума.

Answer 2

Для поиска точек экстремума функции сначала найдем её производную, а затем решим уравнение производной равной нулю.

Исходная функция: y = x/4 + 4/x

1. Найдем производную функции y по переменной x: y' = (1/4) - 4/x^2

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: (1/4) - 4/x^2 = 0

Умножим обе стороны на 4x^2, чтобы избавиться от дроби: x^2 - 16 = 0

3. Решим получившееся квадратное уравнение: x^2 = 16

   x = ±4

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 4 и x = -4.

4. Для определения характера точек экстремума (минимум или максимум) можно воспользоваться второй производной. Найдем вторую производную функции y: y'' = 8/x^3

Подставим найденные критические точки во вторую производную:

Для x = 4: y''(4) = 8/(4^3) = 8/64 = 1/8 > 0 Для x = -4: y''(-4) = 8/(-4^3) = -8/64 = -1/8 < 0

Из знака второй производной следует, что при x = 4 у нас будет локальный минимум, а при x = -4 локальный максимум.

Таким образом, точка экстремума минимума будет (4, y(4)), а точка экстремума максимума будет (-4, y(-4)).

Выражение для y(x): y(x) = x/4 + 4/x

Вычислим значения y для найденных точек: Для x = 4: y(4) = 4/4 + 4/4 = 1 + 1 = 2 Для x = -4: y(-4) = -4/4 + 4/-4 = -1 - 1 = -2

Итак, точка минимума: (4, 2) Точка максимума: (-4, -2)