Question

Найдите значения x, при которых выполняется неравенство f ' ( x )<0, если f ( x )=2x⁴−3 x².

Answer 1

$f(x)=2x^4-3x^2\\\\f'(x)=8x^3-6x=2x\, (4x^2-3)$

Answer 2

Для неравенства $f'(x) < 0$, нам нужно найти значения $x$, при которых производная $f'(x)$ функции $f(x) = 2x^4 - 3x^2$ будет отрицательной.

Сначала найдем производную $f'(x)$ по $x$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4 - 3x^2) = 8x^3 - 6x.$

Теперь нам нужно найти значения $x$, для которых $f'(x) < 0$. Для этого решим неравенство $8x^3 - 6x < 0$.

1. Вынесем общий множитель $2x$: $2x(4x^2 - 3) < 0.$

2. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

   • Множитель $2x$ меняет знак при $x = 0$.
   • Множитель $4x^2 - 3$ меняет знаки при $-\sqrt{\frac{3}{4}} < x < \sqrt{\frac{3}{4}}$, так как это квадратный трехчлен с вершиной в $x = 0$ и отрицательным коэффициентом при $x^2$.

3. Теперь соединим эти интервалы:

   • $x < 0$ и $-\sqrt{\frac{3}{4}} < x < \sqrt{\frac{3}{4}}$.

Таким образом, неравенство $f'(x) < 0$ выполняется при $-\sqrt{\frac{3}{4}} < x < 0$ и $0 < x < \sqrt{\frac{3}{4}}$.