Question

Очень срочно!! Даю 40 баллов!!! Найдите решение уравнения: sin^2x – 2sinx cosx – 3cos^2x = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку[-π ;π/2]​

Answer 1

sin^2x+sinxcosx-3sinxcosx-3cos^2x=0

sinx*(sinx+cosx)-3cosx*(sinx+cosx)=0

(sinx-3cosx)*(sinx+cosx)=0

1) sinx-3cosx=0  :cosx не равное нулю

   tgx=3

   x=arctg3+Пn n принадлежит Z

2)sinx+cosx=0  :cosx не равное нулю

 tgx=-1

 x=-П/4+Пn  n принадлежит Z

 [-П;П/2]

 arctg3-П; arctg3; -П/4

Ответ: а) arctg3+Пn, n принадлежит Z; -П/4+Пn,n принадлежит Z   

         б) arctg3-П; arctg3; -П/4

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение:

sin^2(x) – 2sin(x)cos(x) – 3cos^2(x) = 0

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы упростить это уравнение. Для начала, давайте используем тождество:

cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Подставим это в уравнение:

1 - 2sin(x)cos(x) - 3(1 - sin^2(x)) = 0

Раскроем скобки:

1 - 2sin(x)cos(x) - 3 + 3sin^2(x) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x):

3sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 2 = 0

Давайте решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена. Пусть t = sin(x), тогда:

3t^2 - 2tcos(x) - 2 = 0

Теперь это квадратное уравнение для переменной t. Мы можем использовать дискриминант для нахождения корней. Дискриминант D равен:

D = b^2 - 4ac = (-2cos(x))^2 - 4 * 3 * (-2) = 4cos^2(x) + 24

Так как у нас есть ограничение на отрезок [-π; π/2], мы знаем, что cos(x) ≤ 0 на этом интервале.

На данном отрезке максимальное значение D будет при cos(x) = -1 (так как это дает максимальное значение cos^2(x)), тогда:

D(max) = 4 * (-1)^2 + 24 = 28

Таким образом, у нас есть два случая:

1. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
2. Если D = 28, то уравнение имеет два действительных корня.

Теперь нам нужно рассмотреть второй случай. Найдем корни уравнения для случая D = 28:

t = (2cos(x) ± √28) / (2 * 3) t = cos(x) ± √7 / 3

Так как cos(x) ≤ 0 на интервале [-π; π/2], нам интересен только корень t = cos(x) - √7 / 3.

Теперь найдем соответствующее значение x, используя обратную функцию синуса:

sin(x) = cos(x) - √7 / 3 x = arcsin(cos(x) - √7 / 3)

Таким образом, мы нашли выражение для корней уравнения на заданном интервале [-π; π/2]:

x = arcsin(cos(x) - √7 / 3)

Обратите внимание, что это уравнение не может быть точно решено в аналитической форме, и для получения численных значений потребуется использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления.