Question

Помогите решить пример с производной, в интернете ничего не понятно. (ln)(arctan)sqrt(e^(2x)+ln^(2)x)

Answer 1

я написал решение на прикреплённом листочке ===>>

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить этот пример с производной. Давайте разберемся пошагово.

Дано: $f(x) = \ln(\arctan(\sqrt{e^{2x} + \ln^2(x)}))$

Мы хотим найти производную $f'(x)$.

Шаг 1: Начнем с внутренней функции внутри логарифма. Обозначим её как $g(x)$: $g(x) = \arctan(\sqrt{e^{2x} + \ln^2(x)})$

Шаг 2: Найдем производную $g'(x)$ с помощью цепного правила и правил дифференцирования.

Производная арктангенса: $\frac{d}{dx}(\arctan(u)) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$

Производная квадратного корня: $\frac{d}{dx}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx}$

Производная экспоненты: $\frac{d}{dx}(e^u) = e^u \cdot \frac{du}{dx}$

Производная логарифма: $\frac{d}{dx}(\ln(u)) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$

Применяя эти правила к $g(x)$, получим: $g'(x) = \frac{1}{1 + (e^{2x} + \ln^2(x))^2} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{e^{2x} + \ln^2(x)}} \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x} + \ln^2(x)) \right)$

$= \frac{1}{1 + e^{4x} + 2e^{2x}\ln^2(x) + \ln^4(x)} \cdot \left( \frac{2e^{2x} + 2\ln(x)}{2\sqrt{e^{2x} + \ln^2(x)}} \right)$

$= \frac{2e^{2x} + 2\ln(x)}{\sqrt{1 + e^{4x} + 2e^{2x}\ln^2(x) + \ln^4(x)}}$

Шаг 3: Теперь, когда у нас есть производная $g'(x)$, мы можем найти производную $f'(x)$ с помощью правила дифференцирования логарифма: $f'(x) = \frac{1}{\arctan(\sqrt{e^{2x} + \ln^2(x)})} \cdot g'(x)$