Question

Периметр равностороннего треугольника 27 см. Некоторая точка равноудалена от вершин треугольника на 14 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Answer 1

Расписал задачу в деталях. Смотрите фото:

Answer 2

Пусть дан равносторонний треугольник ABC со стороной a и периметром P = 27 см. Так как треугольник равносторонний, то все его стороны равны: a = P/3 = 9 см.

Точка M равноудалена от вершин треугольника на 14 см. Обозначим это расстояние как h. Так как треугольник равносторонний, то точка M лежит внутри треугольника и является центром вписанной окружности, а высота опущенная из вершины треугольника на вписанную окружность будет пересекать её в её центре. Таким образом, точка M будет центром вписанной окружности, радиус которой равен расстоянию от центра окружности до плоскости треугольника.

Мы знаем, что высота треугольника также является медианой и делит основание пополам. Поэтому расстояние от вершины треугольника до центра окружности равно половине высоты треугольника, то есть h/2.

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике высота, проведенная из вершины, делит треугольник на два 30-60-90 треугольника. В таком треугольнике, высота к гипотенузе равна половине гипотенузы, а высота к основанию равна половине гипотенузы, умноженной на √3.

Таким образом, h/2 = (a/2) * √3 = (9/2) * √3 = 4.5√3 см.

Итак, расстояние от точки M до плоскости треугольника равно 4.5√3 см.