Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = 2 – x^2, y = 4 - x

Answer 1

Ответ:

Файл :

Объяснение:

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої заданими лініями, спершу потрібно знайти точки їх перетину. Після цього ми зможемо побудувати інтеграл для обчислення площі.

1. Знайдемо точки перетину: Поставимо рівняння заданих ліній у = 2 - x^2 і y = 4 - x рівними одне одному та знайдемо значення x:

2 - x^2 = 4 - x

x^2 - x - 2 = 0

(x - 2)(x + 1) = 0

x = 2 або x = -1.

2. Побудова графіку і знаходження площі: Зауважимо, що область нашої фігури розташована між точками перетину, тобто між x = -1 і x = 2.

Побудуємо графіки заданих функцій для визначення меж області та площі фігури:

1. y = 2 - x^2 (парабола)

2. y = 4 - x (пряма)

   | 4 | . /| | . / | | . / | | . / | |/_/| -1 2

Тепер, ми можемо використовувати інтеграл для обчислення площі:

$A = \int_{-1}^{2} (y_1 - y_2) \, dx$

де $y_1 = 2 - x^2$ і $y_2 = 4 - x$.

$A = \int_{-1}^{2} ((2 - x^2) - (4 - x)) \, dx$

$A = \int_{-1}^{2} (x^2 - x - 2) \, dx$

Знайдемо цей інтеграл:

$A = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_{-1}^{2}$

$A = \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) - \left(\frac{-1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right)$

$A = \frac{2}{3}$

Отже, площа фігури, обмеженої лініями $y = 2 - x^2$ і $y = 4 - x$, дорівнює $\frac{2}{3}$ квадратних одиниць.