Question

Решить уравнение и определить его корни принадлежащие интервалу (-Пи; 2Пи) 1. 3sin2x-sinx=0 2. sinx+cosx=0

Answer 1

Ответ:

на фотографии расписан решение 2 номеров

Answer 2

Давайте решим уравнения по порядку:

1. Уравнение: $3\sin^2x - \sin x = 0$

Давайте факторизуем это уравнение:

$\sin x (3\sin x - 1) = 0$

Из этого уравнения следует, что либо $\sin x = 0$, либо $3\sin x - 1 = 0$.

Рассмотрим первый случай: $\sin x = 0$

Корни этого уравнения: $x = 0, \pi, 2\pi, \ldots$

Теперь рассмотрим второй случай: $3\sin x - 1 = 0$

$\sin x = \frac{1}{3}$

На интервале $(-\pi; 2\pi)$, синус положителен в первой и второй четвертях. Следовательно, единственный корень этого уравнения на данном интервале: $x = \frac{\pi}{3}$.

2. Уравнение: $\sin x + \cos x = 0$

Мы можем использовать тригонометрическое тождество $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$, чтобы заменить $\sin x$ в уравнении:

$\sqrt{1 - \cos^2 x} + \cos x = 0$

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$1 - \cos^2 x + \cos^2 x + 2\cos x = 0$

$1 + 2\cos x = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

На интервале $(-\pi; 2\pi)$, косинус отрицателен во второй и третьей четвертях. Следовательно, корни этого уравнения на данном интервале: $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.

Итак, корни уравнений, принадлежащие интервалу $(-\pi; 2\pi)$:

1. $x = 0, \pi, \frac{\pi}{3}, 2\pi$
2. $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$