Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО, ПОЖАЛУЙСТА. Вычислить sin4α+cos4α·ctg2α, если tgα=4.

Answer 1

$\sin4a+\cos4a\cdot\mathrm{ctg}2a=2\sin2a\cos2a+(1-2\sin^22a)\cdot\mathrm{ctg}2a=$

$=2\sin^22a\cdot\dfrac{\cos2a}{\sin2a} +(1-2\sin^22a)\cdot\mathrm{ctg}2a=(2\sin^22a+1-2\sin^22a)\cdot\mathrm{ctg}2a=$

$=1\cdot\mathrm{ctg}2a=\dfrac{1}{\mathrm{tg}2a} =\dfrac{1-\mathrm{tg}^2a}{2\mathrm{tg}a} =\dfrac{1-4^2}{2\cdot4} =\dfrac{1-16}{8} =-\dfrac{15}{8}$

Ответ: -15/8

Answer 2

Дано: $\tan \alpha = 4$

Мы хотим вычислить выражение $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \cdot \cot^2 \alpha$, используя данное значение тангенса $\alpha$.

Известные тригонометрические тождества, которые нам понадобятся:

1. $\cot^2 \alpha = \frac{1}{\tan^2 \alpha}$
2. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
3. $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

Давайте начнем с подстановки значений: $\cot^2 \alpha = \frac{1}{\tan^2 \alpha} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

Теперь мы можем использовать третье тождество: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ $\cos^4 \alpha = (1 - \sin^2 \alpha)^2 = 1 - 2\sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha$

Теперь вместо $\cos^4 \alpha$ мы можем подставить это выражение: $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \cdot \cot^2 \alpha = \sin^4 \alpha + (1 - 2\sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha) \cdot \frac{1}{16}$

Умножаем второе слагаемое на $\frac{1}{16}$: $\frac{1}{16} - \frac{1}{8}\sin^2 \alpha + \frac{1}{16}\sin^4 \alpha$

Теперь используем второе тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\frac{1}{16} - \frac{1}{8}(1 - \cos^2 \alpha) + \frac{1}{16}\sin^4 \alpha$

Теперь можем подставить значение $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$: $\frac{1}{16} - \frac{1}{8}(1 - \sin^2 \alpha) + \frac{1}{16}\sin^4 \alpha$

Упрощаем каждое слагаемое: $\frac{1}{16} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\sin^2 \alpha + \frac{1}{16}\sin^4 \alpha$

Сложим первое и второе слагаемые: $\frac{1}{16} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{16}$

Итак, окончательный результат: 0 0