Question

Пусть y(x) - решение задачи Коши y′–ytgx=sinx, y(0)=1. Найти y(π)

Answer 1

$y'-y{\rm tg}\, x=\sin x$

Домножаем к левой и правой частям дифференциального уравнения на $\cos x$, имеем $y'\cdot \cos x-y\cdot \sin x=\sin x\cos x$. Левую часть уравнения можно представить в виде:

$y'\cdot \cos x+y\cdot (\cos x)'=\sin x\cos x$

Замечаем, что левая часть последнего диф. уравнения это дифференцирование произведения двух функций и в правой части применяем синус двойного угла.

$\Big(y\cdot \cos x\Big)'=\frac{1}{2}\sin 2x$

$y\cos x=\int \frac{1}{2}\sin 2xdx\\ \\ y\cos x=-\frac{1}{4}\cos 2x+C\\ \\ y=\Big(C-\frac{1}{4}\cos 2x\Big)\cos x$

Осталось найти частное решение, подставив начальные условия

$1=\Big(C-\frac{1}{4}\cos0\Big)\cdot \cos 0\\ \\ 1=C-\frac{1}{4}\\ \\ C=\frac{5}{4}$

Частное решение данного диф. уравнения: $y=\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos 2x\Big)\cos x$

$y(\pi)=\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos(2\cdot \pi)\Big)\cdot \cos \pi =\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cdot 1\Big)\cdot (-1)=-1.$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка можно использовать метод вариации постоянной. Данное уравнение имеет вид:

y' - y * tg(x) = sin(x).

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y' - y * tg(x) = 0.

Это линейное уравнение с разделяющимися переменными, его решение можно найти следующим образом:

dy/dx = y * tg(x), dy/y = tg(x) dx, ln|y| = -ln|cos(x)| + ln|C|, ln|y| = ln|C| / |cos(x)|, |y| = e^(ln|C| / |cos(x)|), y = ± e^(ln|C| / |cos(x)|), y = ± e^(ln|C|) / |cos(x)|, y = A / |cos(x)|,

где A - произвольная постоянная.

Теперь приступим к поиску частного решения неоднородного уравнения:

y' - y * tg(x) = sin(x).

Для этого предположим, что решение может иметь вид y_p(x) = v(x) * cos(x), где v(x) - некоторая функция, которую нужно определить. Подставим это в уравнение:

y_p' = v' * cos(x) - v * sin(x), y_p * tg(x) = v * cos(x) * tg(x).

Подставляя это в исходное уравнение, получаем:

v' * cos(x) - v * sin(x) - v * cos(x) * tg(x) = sin(x), v' * cos(x) = 2 * v * sin(x) + sin(x), v' = 2 * v + 1.

Решим это уравнение для v(x):

dv / dx = 2 * v + 1, dv / (2 * v + 1) = dx.

Интегрируя обе стороны, получим:

ln|2 * v + 1| = x + C, |2 * v + 1| = e^(x + C), 2 * v + 1 = ± e^(x + C), v = (± e^(x + C) - 1) / 2.

Теперь, имея v(x), можем найти y_p(x):

y_p(x) = v(x) * cos(x) = ((± e^(x + C) - 1) / 2) * cos(x).

Общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = A / |cos(x)| + ((± e^(x + C) - 1) / 2) * cos(x).

Из начального условия y(0) = 1 мы можем определить постоянную A:

1 = A / |cos(0)| + ((± e^(0 + C) - 1) / 2) * cos(0), 1 = A + ((± e^C - 1) / 2), A = 1 - ((± e^C - 1) / 2).

Теперь нам нужно найти значение C, для этого воспользуемся условием y(π) = 1:

y(π) = (1 - ((± e^C - 1) / 2)) / |cos(π)| + ((± e^(π + C) - 1) / 2) * cos(π) = 1.

Решая это уравнение относительно C, мы найдем конкретное значение для постоянной C, а затем сможем найти y(π).

Обратите внимание, что в данной задаче могут возникнуть неоднозначности из-за использования абсолютных значений и знаков ±.