Question

Решите пожалуйста 4sinx sin2x sin 3x=-sin 12x

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$4sinxsin2xsin3x=-sin12x\\\\sin12x=2sin6xcos6x=4sin3xcos3xcos6x\\=>\\4sinxsin2xsin3x+4sin3xcos3xcos6x=0\\sin3x(sinxsin2x+cos3xcos6x)=0\\sin3x(cosx-cos3x+cos9x+cos3x)=0\\sin3x(cosx+cos9x)=0\\sin3xcos5xcos4x=0\\\\1)\\sin3x=0\\\\x=\dfrac{n\pi}{3},\;n\in Z\\\\2)\\cos5x=0\\\\x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{n\pi}{5},\;n\in Z\\\\3)\\cos4x=0\\\\x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{n\pi}{4},\;n\in Z$

Уравнение решено!

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и свойствами функций синуса. Давайте начнем:

Уравнение: $4 \sin(x) \sin(2x) \sin(3x) = -\sin(12x)$

Сначала заметим, что у нас есть произведение синусов различных углов. Мы можем воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

1. $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
2. $\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha)$

Применяя первое тождество, упростим уравнение:

$4 \sin(x) \cdot (2\sin(x)\cos(x)) \cdot (3\sin(x) - 4\sin^3(x)) = -\sin(12x)$

$24\sin^2(x)\cos(x) (3\sin(x) - 4\sin^3(x)) = -\sin(12x)$

$24\sin^2(x)\cos(x) (3\sin(x)) - 24\sin^2(x)\cos(x) (4\sin^3(x)) = -\sin(12x)$

$72\sin^3(x)\cos(x) - 96\sin^5(x)\cos(x) = -\sin(12x)$

Теперь воспользуемся вторым тождеством и заменим $\sin(3x)$ на $3\sin(x) - 4\sin^3(x)$:

$72\sin^3(x)\cos(x) - 96\sin^5(x)\cos(x) = -\sin(12x)$ $72\sin^3(x)\cos(x) - 96\sin^5(x)\cos(x) = -\left(3\sin(x) - 4\sin^3(x)\right)$

Теперь раскроем скобку и упростим:

$72\sin^3(x)\cos(x) - 96\sin^5(x)\cos(x) = -3\sin(x) + 4\sin^3(x)$

Теперь можно сгруппировать члены:

$72\sin^3(x)\cos(x) + 4\sin^3(x) - 96\sin^5(x)\cos(x) + 3\sin(x) = 0$

Теперь факторизуем общие множители:

$\sin(x)(72\sin^2(x)\cos(x) + 4\sin^2(x) - 96\sin^4(x)\cos(x) + 3) = 0$

Теперь у нас есть две возможности:

1. $\sin(x) = 0$, что дает решение $x = 0$ (или другие значения, кратные $\pi$).
2. Решить уравнение в скобках. Но оно представляет собой сложное уравнение четвертой степени относительно $\sin(x)$, и его решение может потребовать численных методов.

Таким образом, итоговые решения уравнения $4\sin(x)\sin(2x)\sin(3x) = -\sin(12x)$ включают $x = 0$ (и его кратные значения) и решения, полученные путем решения уравнения в скобках численными методами.