Question

A)sin4x-sinx=0 решить Б) найти все корни, принадлежащие [3π; 7π/2]

Answer 1

$sin4x-sinx=0\Leftrightarrow sin4x=sinx\\4x=\pi-x+2\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k\in \mathbb{Z}\\4x=x+2\pi k\Rightarrow x=\frac{2\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}\\\left [ 3\pi;\frac{7\pi}{2} \right ]\Rightarrow x=\left \{ 3\pi;\frac{10 \pi}{3};\frac{17 \pi}{5} \right \}$

Answer 2

A) Для решения уравнения sin(4x) - sin(x) = 0, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать его к более простому виду.

Используем тригонометрическое тождество: sin(a) - sin(b) = 2 * cos((a + b) / 2) * sin((a - b) / 2). Применим это к нашему уравнению:

sin(4x) - sin(x) = 2 * cos((4x + x) / 2) * sin((4x - x) / 2) = 2 * cos(2.5x) * sin(1.5x)

Таким образом, уравнение преобразуется в уравнение:

2 * cos(2.5x) * sin(1.5x) = 0

Это уравнение имеет два возможных случая:

1. cos(2.5x) = 0

2. sin(1.5x) = 0

3. Для cos(2.5x) = 0 решения можно найти, зная, что cos(π/2) = 0 и что период cos функции равен 2π:

2.5x = π/2 + k * π, где k - целое число x = (π/2 + k * π) / 2.5

2. Для sin(1.5x) = 0 решения можно найти, используя тот же подход:

1.5x = k * π, где k - целое число x = (k * π) / 1.5

B) Теперь мы ищем корни, которые принадлежат интервалу [3π; 7π/2]:

Для интервала [3π; 7π/2] имеем:

• Начальное значение: x = 3π
• Конечное значение: x = 7π/2 = 3.5π

Подставляем значения из этого интервала в выражения, полученные в пункте A, и находим решения:

1. Из уравнения 2.5x = π/2 + k * π: x = (π/2 + k * π) / 2.5 Где k = 2, так как π/2 + 2π = 5π/2, что лежит в интервале [3π; 7π/2]. x = (5π/2) / 2.5 = π

2. Из уравнения 1.5x = k * π: x = (k * π) / 1.5 Где k = 2, так как 2π / 1.5 = 4π/3, что лежит в интервале [3π; 7π/2]. x = (4π/3) / 1.5 = 8π/9

Таким образом, корни уравнения на интервале [3π; 7π/2] это x = π и x = 8π/9.