Question

Докажите, что 10а^2-6а+2аb+b^2>0 при всех действительных a и b срочно

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$f(b)=b^{2}+2ab+(10a^{2}-6a)$

Найдем определитель данной квадратичной формы от b.

$D=(2a)^{2}-4(10a^{2}-6a)=-36a^{2}+24a=6a(4-6a)$

На интервале a ∈ (0;2/3) дискриминант положительный - значит исходная функция f(b) имеет два корня и ,следовательно, есть область, в которой она принимает отрицательные значения. Значит исходное утверждение неверно. Или ошибка в условии.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение аналитически. У нас есть выражение:

$10a^2 - 6a + 2ab + b^2$

Для того чтобы доказать, что данное выражение больше нуля при всех действительных $a$ и $b$, давайте воспользуемся методом полного квадрата для квадратичного трёхчлена $10a^2 - 6a$. Мы можем выразить его как:

$10a^2 - 6a = 10(a^2 - \frac{3}{5}a)$

Теперь давайте завершим квадрат, добавив и вычитая $\left(\frac{3}{10}\right)^2$ внутри скобки:

$10(a^2 - \frac{3}{5}a + \left(\frac{3}{10}\right)^2 - \left(\frac{3}{10}\right)^2) = 10\left(a - \frac{3}{10}\right)^2 - \frac{9}{100}$

Таким образом, исходное выражение можно переписать следующим образом:

$10a^2 - 6a + 2ab + b^2 = 10\left(a - \frac{3}{10}\right)^2 - \frac{9}{100} + 2ab + b^2$

Теперь давайте сосредоточимся на последних двух слагаемых $2ab + b^2$. Мы можем выразить их как квадратичный трёхчлен относительно переменной $b$:

$2ab + b^2 = b^2 + 2ab$

Чтобы сделать это выражение полным квадратом, добавим и вычтем $(a)^2$:

$b^2 + 2ab = (b + a)^2 - a^2$

Теперь мы можем объединить результаты:

$10a^2 - 6a + 2ab + b^2 = 10\left(a - \frac{3}{10}\right)^2 - \frac{9}{100} + (b + a)^2 - a^2$

Обратите внимание, что все добавленные и вычтенные термины (как $- \frac{9}{100}$ и $- a^2$) не влияют на знак выражения, так как они являются постоянными и меньше нуля. Таким образом, мы можем игнорировать их при анализе знака выражения.

Окончательно у нас остаётся:

$10\left(a - \frac{3}{10}\right)^2 + (b + a)^2$

Это выражение представляет собой сумму двух положительных квадратов, и, следовательно, оно всегда будет больше или равно нулю. Таким образом, $10a^2 - 6a + 2ab + b^2 > 0$ при всех действительных $a$ и $b$.