Question

Алгебра 10ый класс!!! Докажите, что возрастающая или убывающая функция приобретает каждого своего значения только в одной точке ее области определения. Доведіть, що зростаюча або спадна функція набуває кожного свого значення тільки в одній точці її області визначення.

Answer 1

Пусть функция $y=f(x)$ возрастает на всей области определения.

Предположим, что для некоторых значений аргумента $x=a_1$ и $x=a_2$ выполняется соотношение $f(a_1)=f(a_2)$. Рассмотрим три ситуации:

1. $a_1$ - но по определению возрастающей функции меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: $f(a_1)$ - противоречие вышеприведенному равенству значений функции

2. $a_1=a_2$ - две точки равны между собой, значит и значения функции в них также равны, вышеприведенное равенство выполняется

3. $a_1>a_2$ - аналогично, по определению возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции: $f(a_1)>f(a_2)$ - противоречие вышеприведенному равенству значений функции

Таким образом, при любых $a_1\neq a_2$ не может выполняться равенство $f(a_1)=f(a_2)$. Это означает, что возрастающая функция не может принимать одно и то же значение в двух различных точках. Или по другому, возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке.

Для убывающей функции доказательство аналогичное с той лишь разницей, что случаю $a_1$ соответствует условие $f(a_1)>f(a_2)$, а случаю $a_1>a_2$ - условие $f(a_1)$. Но опять же, разным значениям аргумента не могут соответствовать равные значения функции.

Answer 2

Давайте рассмотрим возрастающую функцию. Пусть $f(x)$ - это возрастающая функция, то есть для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \leq f(x_2)$.

Предположим, что существует две точки $x_1$ и $x_2$ в области определения функции $f(x)$, такие, что $f(x_1) = f(x_2)$. Это означает, что наша функция принимает одно и то же значение в двух различных точках. В силу возрастания функции это невозможно, так как если $f(x_1) = f(x_2)$, то это противоречит определению возрастающей функции.

Предположим теперь, что существует точка $x_3$ в области определения функции $f(x)$, такая, что $f(x_3) > f(x_1)$. Так как функция возрастающая, то должно выполняться $x_3 > x_1$, так как иначе значение в точке $x_3$ не может быть больше значения в точке $x_1$. Но это противоречит тому, что $f(x_1) = f(x_2)$ и функция принимает одно и то же значение в точках $x_1$ и $x_2$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что невозможно найти две различные точки $x_1$ и $x_2$, для которых $f(x_1) = f(x_2)$, и невозможно найти точку $x_3$, для которой $f(x_3) > f(x_1)$. Это означает, что каждое значение функции $f(x)$ соответствует только одной точке в её области определения. Таким образом, возрастающая функция принимает каждое своё значение только в одной точке области определения.

Аналогичные рассуждения можно провести для убывающей функции. Таким образом, убывающая функция также будет принимать каждое своё значение только в одной точке области определения.