Question

Разложить многочлен на множители x^3+xy(x+y)+y^3+yz(y+z)+z^3+zx(z+x)

Answer 1

Ответ:

x³+xy(x+y)+y³+yz(y+z)+z³+zx(z+x)=x³+x²y+xy²+y³+y²z+yz²+z³+z²x+zx²

Answer 2

Данный многочлен представляет собой сумму шести слагаемых. Давайте попробуем разложить его на множители.

Многочлен: x^3 + xy(x+y) + y^3 + yz(y+z) + z^3 + zx(z+x)

Давайте посмотрим на первое и последнее слагаемые, а также на слагаемые, содержащие две переменные:

x^3 + zx(z+x) = x^3 + xz^2 + x^2z + zx^2 = x(x^2 + z^2 + xz + zx)

y^3 + yz(y+z) = y^3 + y^2z + yz^2 + y^2z = y(y^2 + z^2 + yz + yz)

Теперь давайте сгруппируем по два слагаемых:

x(x^2 + z^2 + xz + zx) + y(y^2 + z^2 + yz + yz)

Обратите внимание, что каждая из этих групп имеет вид суммы квадратов и кросс-произведений. Мы можем дополнительно факторизовать так:

x((x + z)^2 + xz) + y((y + z)^2 + yz)

Теперь у нас есть две группы, в которых можно выделить общий множитель:

x(x + z)^2 + x^2z + y(y + z)^2 + yz^2

Теперь давайте вернемся к первому слагаемому xy(x+y). Мы видим, что здесь также можно выделить общий множитель:

xy(x+y) = x(y^2 + xy) = xy(y + x)

Таким образом, наш исходный многочлен разлагается на следующие множители:

x(y + x)(x + z)^2 + y(y + z)^2(z + x)

Это и есть разложение данного многочлена на множители.