Question

4,1/под корнем 4,1²+9 При помощи дифференциала вычислить с точностью 0,01 и относительную погрешность. помогите решить. )))

Answer 1

$\mathrm{f}(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$

$\mathrm{f}(x_0+\Delta x) \approx \mathrm{f}(x_0) + \mathrm{f}'(x_0)\cdot\Delta x$

$x_0 = 4$

$\Delta x = 0{,}1$

$\mathrm{f}'(x) = \frac{1}{x^2+9}\cdot (\sqrt{x^2+9} - x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+9}} =$

$= \frac{1}{(x^2+9)^{\frac{3}{2}}}\cdot (x^2+9 - x^2) =$

$= \frac{9}{(x^2+9)^{\frac{3}{2}}}$

$\mathrm{f}(x_0) = \frac{4}{\sqrt{4^2+9}} = \frac{4}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} =$

$= 0{,}8$

$\mathrm{f}'(x_0) = \mathrm{f}'(4) = \frac{9}{(4^2+9)^{\frac{3}{2}}} =$

$= \frac{9}{25^{\frac{3}{2}}} = \frac{9}{5^3} = \frac{9\cdot 8}{5^3\cdot 2^3} =$

$= \frac{72}{10^3} = 0{,}072$

$\mathrm{f}(4{,}1) \approx \mathrm{f}(4) + \mathrm{f}'(4)\cdot 0{,}1 =$

$= 0{,}8 + 0{,}072\cdot 0{,}1 = 0{,}8+0{,}0072 = 0{,}8072$

Answer 2

Давайте разберемся с вашим вопросом по шагам.

1. Выражение: $4 \cdot \sqrt{4.1^2 + 9}$.
2. Нам нужно вычислить это выражение с точностью до 0,01 и вычислить относительную погрешность.

Для начала давайте вычислим значение данного выражения. Затем мы будем использовать дифференциал для оценки погрешности.

1. Вычисление значения выражения:

   $4 \cdot \sqrt{4.1^2 + 9} \approx 4 \cdot \sqrt{17.61 + 9} \approx 4 \cdot \sqrt{26.61} \approx 4 \cdot 5.1582 \approx 20.6328.$

2. Теперь давайте воспользуемся дифференциалом, чтобы оценить погрешность:

   Пусть $f(x) = 4 \cdot \sqrt{x^2 + 9}$ - наше выражение.

   Посчитаем производную $f'(x)$:

   $f'(x) = \frac{d}{dx} \left(4 \cdot \sqrt{x^2 + 9}\right) = \frac{4 \cdot 2x}{2 \cdot \sqrt{x^2 + 9}} = \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 9}}.$

   Теперь, используя приближенное значение $x = 4.1$, мы можем вычислить значение производной $f'(x)$:

   $f'(4.1) = \frac{4 \cdot 4.1}{\sqrt{4.1^2 + 9}} \approx \frac{16.4}{5.1582} \approx 3.1794.$

   Теперь мы можем оценить погрешность приближенного значения по формуле погрешности:

   $\Delta f \approx |f'(4.1)| \cdot \Delta x = 3.1794 \cdot 0.01 \approx 0.0318.$

   Теперь мы можем вычислить относительную погрешность:

   $\text{Относительная погрешность} = \frac{\Delta f}{f} = \frac{0.0318}{20.6328} \approx 0.0015.$

Итак, приближенное значение выражения $4 \cdot \sqrt{4.1^2 + 9}$ составляет около 20.6328. Погрешность оценки составляет приблизительно 0.0318, а относительная погрешность около 0.0015.