Question

В правильный треугольник со стороной 10 см вписан другой треугольник, вершины которого находятся на серединах сторон данного треугольника, в этот треугольник таким же образом вписан следующий треугольник и так далее до бесконечности. Вычисли сумму площадей всех треугольников. ОНЛАЙН МЕКТЕП ЗАДАНИЕ 6

Answer 1

Ответ:

$\tt \dfrac{100 \cdot \sqrt{3}}{3} (CM^2)$

Объяснение:

Площадь правильного треугольника со стороной a определяется по формуле

$\tt S_{TP}=\dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3} }{4} .$

Сторона первого треугольника равна 10 см и поэтому его площадь равна

$\tt S_{TP}=\dfrac{10^2 \cdot \sqrt{3} }{4} =\dfrac{100 \cdot \sqrt{3} }{4} =25 \cdot \sqrt{3}.$

Далее, стороны треугольника, вершины которого находятся на серединах сторон внешнего треугольника являются средними линиями и по свойству средних линий внешний треугольник делится на 4 равных треугольников (см. рисунок). Значит площадь каждого внутреннего треугольника равна четверти внешнего треугольника.

В силу вышесказанного получим сумму площадей треугольников:

$\tt 25 \cdot \sqrt{3}+\dfrac{1}{4} \cdot 25 \cdot \sqrt{3}+\left (\dfrac{1}{4} \right )^2 \cdot 25 \cdot \sqrt{3}+\left (\dfrac{1}{4} \right )^3\cdot 25 \cdot \sqrt{3}+....$

В итоге получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию первым членом равным $\tt b_1=25 \cdot \sqrt{3}$ и знаменателем $\tt q=\dfrac{1}{4}.$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется по формуле:

$\tt S=\dfrac{b_1}{1-q} .$

Теперь вычислим сумму площадей всех треугольников:

$\tt S=\dfrac{25 \cdot \sqrt{3}}{1-\dfrac{1}{4} } =\dfrac{25 \cdot \sqrt{3}}{\dfrac{3}{4} } =\dfrac{100 \cdot \sqrt{3}}{3} (CM^2).$

Answer 2

Давайте рассмотрим эту задачу. У нас есть правильный треугольник со стороной 10 см. Первый вписанный треугольник будет равносторонним треугольником, вершины которого находятся на серединах сторон данного треугольника. Это значит, что длина стороны первого вписанного треугольника будет равна половине длины стороны исходного треугольника, то есть 5 см.

Теперь давайте рассмотрим второй вписанный треугольник. Он также будет равносторонним, и его сторона будет равна половине стороны первого вписанного треугольника, то есть 2.5 см.

Мы видим, что каждый следующий вписанный треугольник будет иметь сторону, вдвое меньшую, чем предыдущий. Таким образом, мы имеем бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом 10 см и множителем 1/2.

Для нахождения суммы площадей всех этих треугольников, мы можем использовать формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

Сумма = a / (1 - r),

где:

• "a" - первый член прогрессии (10 см),
• "r" - множитель (1/2).

Сначала найдем значение суммы:

Сумма = 10 / (1 - 1/2) = 10 / (1/2) = 20 см.

Теперь мы знаем, что сумма площадей всех треугольников равна 20 квадратным сантиметрам.