Question

Визначте область значень функції y=√7x-x^2​

Answer 1

Hi mister,

$y=\sqrt{7x-x^{2} } \\0=\sqrt{7x} - x^{2} \\\sqrt{7x} - x^{2} = 0\\\sqrt{7x} = x^{2} \\7x = x^4\\7x-x^4=0\\x(7-x^3)=0\\x1 = 0\\x2 =\sqrt[3]{7}$

Источник: Мозг

Answer 2

Щоб визначити область значень функції $y = \sqrt{7x - x^2}$, спершу розглянемо її область визначення.

Функція $\sqrt{7x - x^2}$ визначена лише для тих значень $x$, для яких вираз $7x - x^2$ не менше нуля, оскільки в дільнику під квадратним коренем не може бути від'ємних значень.

Щоб знайти область визначення, розв'яжемо нерівність $7x - x^2 \geq 0$:

$7x - x^2 \geq 0$

Почнемо зі спрощення:

$x(7 - x) \geq 0$

Тепер можемо визначити точки перетину графіка функції з віссю $x$:

1. $x = 0$
2. $7 - x = 0 \Rightarrow x = 7$

Тепер розділимо вісь $x$ на три інтервали, використовуючи ці точки перетину:

1. $(-\infty, 0)$
2. $(0, 7)$
3. $(7, +\infty)$

Тепер визначимо знаки виразу $x(7 - x)$ на кожному з цих інтервалів:

1. На інтервалі $(-\infty, 0)$: Обираємо $x = -1$ (відоме від'ємне значення), отже, $x(7 - x) < 0$.
2. На інтервалі $(0, 7)$: Обираємо $x = 1$ (відоме додатнє значення), отже, $x(7 - x) > 0$.
3. На інтервалі $(7, +\infty)$: Обираємо $x = 8$ (відоме додатнє значення), отже, $x(7 - x) < 0$.

Отже, функція $y = \sqrt{7x - x^2}$ визначена для $x$ з інтервалів $(0, 7)$ і $(7, +\infty)$.

Тепер можемо визначити область значень функції. Оскільки квадратний корінь завжди повертає не від'ємні значення, область значень функції буде від нуля (включаючи нуль) і до кореня виразу $7x - x^2$, який досягає свого максимального значення на інтервалі $(0, 7)$.

Максимальне значення виразу $7x - x^2$ досягається при $x = \frac{7}{2}$ (середнє значення інтервалу $(0, 7)$), і воно дорівнює $7 \cdot \frac{7}{2} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{2} - \frac{49}{4} = \frac{49}{4}$.

Отже, область значень функції $y = \sqrt{7x - x^2}$ - це інтервал $\left[0, \frac{7}{2}\right]$ або у формі десяткових дробів $\left[0, 12.25\right]$.