Question

Помогите пж ㏒²₂ x - 3㏒₂ x - 4 <0

Answer 1

Ответ: (0,5; 16)

Решение задания прилагаю

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами, мы будем использовать следующий метод:

1. Начнем с того, что мы имеем: $\log_2^2 x - 3\log_2 x - 4 < 0$.

2. Введем замену переменной. Обозначим $y = \log_2 x$. Теперь наше неравенство выглядит так: $y^2 - 3y - 4 < 0$.

3. Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $y^2 - 3y - 4 = 0$. Мы можем факторизовать его следующим образом: $(y - 4)(y + 1) = 0$.

   Отсюда получаем два корня: $y = 4$ и $y = -1$.

4. Теперь мы видим, что уравнение $y^2 - 3y - 4 = 0$ разбивает весь диапазон значений переменной $y$ (логарифма) на три интервала:

   • $-\infty < y < -1$
   • $-1 < y < 4$
   • $4 < y < +\infty$

5. Далее, мы хотим найти, когда неравенство $y^2 - 3y - 4 < 0$ истинно. Для этого выберем по одной точке из каждого интервала и проверим, выполняется ли неравенство:

   • Для $y = -2$ (принимаем значение из первого интервала): $(-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0$.
   • Для $y = 0$ (принимаем значение из второго интервала): $0^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0$.
   • Для $y = 5$ (принимаем значение из третьего интервала): $5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0$.

6. Теперь мы знаем, что неравенство $y^2 - 3y - 4 < 0$ выполняется только на интервале $-1 < y < 4$.

7. Вспомним, что мы ввели замену переменной $y = \log_2 x$, поэтому теперь нужно найти, когда $\log_2 x$ находится в интервале $-1 < y < 4$.

8. Этот интервал соответствует следующему неравенству: $-1 < \log_2 x < 4$.

9. Теперь найдем $x$ из этого неравенства. Для этого применим степень двойки к обоим частям: $2^{-1} < x < 2^4$.

10. Выразим конечные значения для $x$: $\frac{1}{2} < x < 16$.

Итак, решение неравенства $\log_2^2 x - 3\log_2 x - 4 < 0$ в виде интервала для $x$ таково: $\frac{1}{2} < x < 16$.