Question

Найти частное решение линейного уравнения xy'-y'=x^3, если y=1/2 при x=1помогите пожалуйста решить данный пример

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Чтобы найти частное решение данного линейного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод интегрирования. Уравнение имеет вид:

xy' - y' = x^3.

Давайте начнем с выделения y' на левой стороне:

y'(x - 1) = x^3.

Теперь мы можем разделить обе стороны на (x - 1):

y' = x^3 / (x - 1).

Далее, мы интегрируем обе стороны по переменной x:

∫(1/y') dy = ∫(x^3 / (x - 1)) dx.

Интегрируем левую сторону:

ln|y| = ∫(x^3 / (x - 1)) dx.

Интегрирование правой стороны может быть немного сложным, но вы можете воспользоваться методом дробления на простые дроби или разложением на части:

∫(x^3 / (x - 1)) dx = ∫(x^2 + x + 1 + 1 / (x - 1)) dx.

Теперь проинтегрируем каждую из частей:

∫(x^2 + x + 1 + 1 / (x - 1)) dx = (x^3/3 + x^2/2 + x + ln|x - 1| + C,

где C - произвольная константа интегрирования.

Итак, мы получили:

ln|y| = x^3/3 + x^2/2 + x + ln|x - 1| + C.

Теперь давайте избавимся от натуральных логарифмов, применив экспоненциальную функцию к обеим сторонам:

|y| = e^(x^3/3 + x^2/2 + x + ln|x - 1| + C).

Теперь учтем абсолютное значение. Поскольку y - функция, она может быть положительной или отрицательной, в зависимости от выбора знака. Таким образом, мы можем записать два варианта частного решения:

1. y(x) = e^(x^3/3 + x^2/2 + x + ln|x - 1| + C), если y > 0.
2. y(x) = -e^(x^3/3 + x^2/2 + x + ln|x - 1| + C), если y < 0.

Теперь остается только учесть начальное условие, что y = 1/2 при x = 1. Давайте подставим это условие:

Для x = 1:

1/2 = e^(1/3 + 1/2 + 1 + ln|1 - 1| + C) = e^(1/3 + 1/2 + 1 + ln|0| + C) = e^(1/3 + 1/2 + 1 + C).

Теперь найдем C:

e^(1/3 + 1/2 + 1 + C) = 1/2.

Избавимся от экспоненты, взяв ее натуральный логарифм с обеих сторон:

1/3 + 1/2 + 1 + C = ln(1/2).

Сложим числа:

5/6 + C = ln(1/2).

Теперь выразим C:

C = ln(1/2) - 5/6.

Теперь мы знаем значение C, и мы можем записать частное решение:

y(x) = e^(x^3/3 + x^2/2 + x + ln|x - 1| + ln(1/2) - 5/6).

Теперь у нас есть частное решение данного линейного дифференциального уравнения с начальным условием y = 1/2 при x = 1.