Question

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12. Найди первый член прогрессии, если отношение первого члена к сумме второго и третьего членов равна 0,9.

Answer 1

Ответ:

b₁ = 4

Объяснение:

Нужно знать:

1) Если в геометрической прогрессии знаменатель |q| < 1, то называется бесконечно убывающей.

2) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии {bn}вычисляется по формуле: $\tt S =\dfrac{b_1}{1-q} , \;\; |q|$

3) Общий член геометрической прогрессии {bn} со знаменателем q определяется по формуле: $\tt b_n=b_{1} \cdot q^{n-1}.$

По условию:

$\displaystyle \tt \left \{ {{\dfrac{b_1}{1-q} =12} \atop {\dfrac{b_1}{b_2+b_3} =0,9}} \right. .$

Решаем систему и находим b₁:

$\displaystyle \tt \left \{ {{\dfrac{b_1}{1-q} =12} \atop {\dfrac{b_1}{b_2+b_3} =0,9}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b_1 =12 \cdot (1-q)} \atop {\dfrac{b_1}{b_1 \cdot q+b_1 \cdot q^2} =0,9}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b_1 =12 \cdot (1-q)} \atop {\dfrac{1}{q+q^2} =0,9}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tt \Leftrightarrow \left \{ {{b_1 =12 \cdot (1-q)} \atop {9 \cdot q^2+9 \cdot q-10=0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b_1 =12 \cdot (1-q)} \atop {q_1=-\dfrac{5}{3} ,|q_1|>1, q_2=\dfrac{2}{3} ,|q_2|$

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "a", а её знаменатель (отношение между последующими членами) как "r". Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии будет равна:

S = a / (1 - r)

По условию задачи, сумма равна 12:

12 = a / (1 - r) ...(1)

Также известно, что отношение первого члена к сумме второго и третьего членов равно 0,9:

a / (r^2 * a) = 0,9

Это можно переписать как:

1 / r^2 = 0,9

Теперь найдем значение r:

r^2 = 1 / 0,9 r^2 = 10 / 9 r = √(10 / 9)

Теперь мы знаем значение r. Мы можем использовать его в уравнении (1), чтобы найти значение a:

12 = a / (1 - √(10 / 9))

Теперь давайте решим это уравнение:

12 = a / (1 - √(10 / 9))

Умножим обе стороны на (1 - √(10 / 9)):

12 * (1 - √(10 / 9)) = a

Теперь вычислим это выражение:

a = 12 * (1 - √(10 / 9))

a ≈ 12 * (1 - 1.0541)

a ≈ 12 * (-0.0541)

a ≈ -0.6492

Итак, первый член геометрической прогрессии равен примерно -0,6492.