Question

Помогите решить уравнение с помощью группировкиsin2x-sinx=2cosx-1​

Answer 1

Ответ:

$\sin(2x) - \sin(x) = 2 \cos(x) - 1 \\ 2 \sin(x) \cos(x) - \sin(x) - 2 \cos(x) + 1 = 0 \\ 2 \cos(x) ( \sin(x) - 1) - ( \sin(x) - 1) = 0 \\( \sin(x) - 1) ( 2\cos(x) - 1) = 0 \\ \\ \sin(x) - 1 = 0\\ \sin(x) = 1 \\ x1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \: n \\ \\ 2 \cos(x) - 1 = 0 \\ \cos(x) = \frac{1}{2} \\ x2 = + - \frac{\pi}{3} + 2\pi \: n$

n принадлежит Z

Answer 2

Для решения уравнения sin(2x) - sin(x) = 2cos(x) - 1 с помощью группировки, давайте используем тригонометрические тождества, чтобы преобразовать его:

1. Используем тождество синуса для разности: sin(2x - x) = 2cos(x) - 1

2. Упростим выражение в левой части уравнения: sin(x) = 2cos(x) - 1

3. Теперь мы можем выразить sin(x) через cos(x) с использованием тождества Пифагора (sin^2(x) + cos^2(x) = 1):

   sin(x) = √(1 - cos^2(x))

4. Подставим это значение sin(x) обратно в уравнение:

   √(1 - cos^2(x)) = 2cos(x) - 1

5. Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

   1 - cos^2(x) = (2cos(x) - 1)^2

6. Раскроем квадрат в правой части:

   1 - cos^2(x) = 4cos^2(x) - 4cos(x) + 1

7. Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x):

   0 = 5cos^2(x) - 4cos(x)

8. Факторизуем это уравнение:

   cos(x)(5cos(x) - 4) = 0

9. Найдем корни уравнения:

   a) cos(x) = 0

   Это уравнение имеет корни при x = π/2 + πn, где n - целое число.

   b) 5cos(x) - 4 = 0

   Решая это уравнение, получаем: cos(x) = 4/5

   Теперь, чтобы найти угол x, возьмем арккосинус от обеих сторон: x = arccos(4/5)

Теперь у нас есть два набора решений:

1. x = π/2 + πn, где n - целое число.
2. x = arccos(4/5).

Это все решения вашего уравнения sin(2x) - sin(x) = 2cos(x) - 1.