Question

Помогите!) Cos2x-√2cos(п/2+x) +1=0 [5п;-7п/2] !!!

Answer 1

Ответ:

Ответ смотри во вложении

Answer 2

Давайте решим данное уравнение в заданном интервале [5π, -7π/2]. Для этого мы будем использовать замены и тригонометрические тождества.

Уравнение: $\cos(2x) - \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$

Сначала заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)$. Подставим это значение:

$\cos(2x) + \sqrt{2}\sin(x) + 1 = 0$

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами для преобразования $\cos(2x)$ в другой вид:

$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$

Подставим это значение:

$2\cos^2(x) - 1 + \sqrt{2}\sin(x) + 1 = 0$

Упростим:

$2\cos^2(x) + \sqrt{2}\sin(x) = 0$

Теперь выразим $\cos^2(x)$ через $\sin(x)$, используя тождество $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$:

$2(1 - \sin^2(x)) + \sqrt{2}\sin(x) = 0$

Упростим дальше:

$2 - 2\sin^2(x) + \sqrt{2}\sin(x) = 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\sin(x)$:

$2\sin^2(x) - \sqrt{2}\sin(x) - 2 = 0$

Сделаем замену: $u = \sqrt{2}\sin(x)$:

$2u^2 - u - 2 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Используя квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней:

$u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае $a = 2$, $b = -1$, и $c = -2$. Подставим эти значения:

$u = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}$

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4}$

$u = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$

Теперь найдем значения $x$ соответствующие этим значениям $u$:

1. $u = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$: $\sqrt{2}\sin(x) = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$