Question

Докажите неравенство a²+10b²≥6ab​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

a²+10b²≥6ab​

a²-6ab​+10b²≥0

​a²-2a3b​+9b²+b²≥0  по формуле a²-2ab+b²=(a-b)²

(a-3b)²+b²≥0  это очевидное неравенство

Answer 2

Чтобы доказать неравенство $a^2 + 10b^2 \geq 6ab$, давайте преобразуем его:

1. Вычитаем $6ab$ с обеих сторон неравенства:

$a^2 + 10b^2 - 6ab \geq 0$

2. Теперь давайте попробуем факторизовать левую сторону неравенства. Для этого мы можем разложить $a^2$ на $(a - b)^2 + 2ab$:

$a^2 = (a - b)^2 + 2ab$

3. Подставляем это в наше неравенство:

$(a - b)^2 + 2ab + 10b^2 - 6ab \geq 0$

4. Далее, объединяем подобные члены:

$(a - b)^2 + 4ab + 10b^2 \geq 0$

5. Теперь можно заметить, что выражение в скобках $(a - b)^2$ является неотрицательным, так как это квадрат разности. Он всегда больше или равен нулю:

$(a - b)^2 \geq 0$

6. Следовательно, можно утверждать, что:

$(a - b)^2 + 4ab + 10b^2 \geq 0$

7. Таким образом, мы доказали, что $a^2 + 10b^2 - 6ab \geq 0$, что и является исходным неравенством $a^2 + 10b^2 \geq 6ab$. Таким образом, неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$.