Question

Помогитееее решить уравнениеsin2x+cos2x=√2*sinx

Answer 1

......................

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

sin(2x) + cos(2x) = √2 * sin(x)

Используем тригонометрические тождества для sin(2x) и cos(2x):

2sin(x)cos(x) - (1 - 2sin^2(x)) = √2 * sin(x)

Теперь сгруппируем все члены синуса на одной стороне уравнения и все остальные на другой:

2sin(x)cos(x) - √2sin(x) - 2sin^2(x) + 1 = 0

Теперь давайте заменим sin(x) на t и упростим уравнение:

2t(1 - t) - √2t + 1 = 0

Умножим обе стороны на 1/2 для удобства:

t(1 - t) - (√2/2)t + 1/2 = 0

Раскроем скобки:

t - t^2 - (√2/2)t + 1/2 = 0

Теперь сгруппируем члены:

-t^2 + (1 - (√2/2))t + 1/2 = 0

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Где a = -1, b = 1 - (√2/2), и c = 1/2. Подставим значения:

t = (-(1 - (√2/2)) ± √((1 - (√2/2))^2 - 4*(-1)(1/2))) / (2(-1))

Теперь рассчитаем значение под корнем:

(1 - (√2/2))^2 - 4*(-1)(1/2) = 1 - √2 + 1/2 - 2(-1/2) = 1 - √2 + 1/2 + 1 = 3/2 - √2

Теперь вставим это значение в уравнение для t:

t = (-(1 - (√2/2)) ± √(3/2 - √2)) / (-2)

Теперь найдем два возможных значения t:

1. t = (-(1 - (√2/2)) + √(3/2 - √2)) / (-2)
2. t = (-(1 - (√2/2)) - √(3/2 - √2)) / (-2)

Теперь найдем значения x, используя обратное соотношение t = sin(x):

1. x = arcsin((-(1 - (√2/2)) + √(3/2 - √2)) / (-2))
2. x = arcsin((-(1 - (√2/2)) - √(3/2 - √2)) / (-2))

И это будут значения x, которые удовлетворяют уравнению sin(2x) + cos(2x) = √2 * sin(x).