Question

многочлен x^3+kx^2-9x-2 делится на двучлен х-2 без остатка. Используя теорему Безу, найдите остаток при делении данного многочлена на двучлен х-3.​

Answer 1

Ответ:

$25$

Объяснение:

Так как многочлен x³+kx²–9x–2 делится на двучлен x–2 без остатка, то одним из корней уравнения x³+kx²–9x–2=0 является корень x=2.

Найдём значение k:

$2^{3}+k \cdot 2^{2}-9 \cdot 2-2=0;$

$8+4k-18-2=0;$

$4k-12=0;$

$4k=12;$

$k=3;$

Теперь разделим многочлен x³+3x²–9x–2 на двучлен x–3:

$\dfrac{x^{3}+3x^{2}}{x-3}=\dfrac{x^{3}-3x^{2}+6x^{2}}{x-3}=\dfrac{x^{2} \cdot (x-3)+6x^{2}}{x-3}=x^{2}+\dfrac{6x^{2}}{x-3};$

$\dfrac{6x^{2}-9x}{x-3}=\dfrac{6x^{2}-18x+9x}{x-3}=\dfrac{6x \cdot (x-3)+9x}{x-3}=6x+\dfrac{9x}{x-3};$

$\dfrac{9x-2}{x-3}=\dfrac{9x-27+25}{x-3}=\dfrac{9 \cdot (x-3)+25}{x-3}=9+\dfrac{25}{x-3};$

Остаток от деления равен 25.

Answer 2

Если многочлен $x^3 + kx^2 - 9x - 2$ делится на $x - 2$ без остатка, то по теореме Безу, это означает, что $x = 2$ является корнем этого многочлена.

Далее, нам нужно найти остаток при делении этого многочлена на $x - 3$. Используем тот факт, что $x = 2$ является корнем многочлена:

1. Сначала найдем значение многочлена в точке $x = 2$:

   Подставляем $x = 2$ в $x^3 + kx^2 - 9x - 2$:

   $2^3 + k \cdot 2^2 - 9 \cdot 2 - 2 = 8 + 4k - 18 - 2 = 4k - 12$.

2. Теперь, используя теорему остатка, мы можем записать:

   $f(x) = (x - 3)q(x) + r$,

   где $q(x)$ - частное, а $r$ - остаток.

   В нашем случае $q(x)$ - некоторый многочлен, $r$ - остаток, который нам нужно найти, и $f(x) = x^3 + kx^2 - 9x - 2$.

   Заметим, что по условию $x = 2$ является корнем многочлена. Это означает, что $(x - 2)$ является множителем.

   Таким образом, мы можем записать $f(x)$ как:

   $f(x) = (x - 2)(x^2 + ax + b) + r$,

   где $a$ и $b$ - некоторые коэффициенты, которые нам нужно найти.

3. Умножаем множители:

   $x^3 + kx^2 - 9x - 2 = (x - 2)(x^2 + ax + b) + r$

   Раскрываем скобки:

   $x^3 + ax^2 + bx - 2x^2 - 2ax - 2b + r = x^3 + (a - 2)x^2 + (b - 2a)x - 2b + r$

   Теперь сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях $x$:

   a - 2 = k \\ b - 2a = -9 \\ -2b + r = -2 \end{cases}\]

4. Из первого уравнения получаем $a = k + 2$, подставляем во второе:

   $b - 2(k + 2) = -9$

   $b - 2k - 4 = -9$

   $b = 2k - 5$

5. Теперь мы можем найти остаток $r$, подставив $a$ и $b$ в третье уравнение:

   $-2(2k - 5) + r = -2$

   $-4k + 10 + r = -2$

   $r = 4k - 8$

Итак, остаток при делении многочлена $x^3 + kx^2 - 9x - 2$ на $x - 3$ равен $4k - 8$.