Question

Найдите производную функции y=(ln(x))^sin(x)

Answer 1

Ответ:

По формуле:

$y' = ( ln(y)) ' \times y$

$( ln(y))' = ( ln( {( ln(x)) }^{ \sin(x) } ) ' = \\ = ( \sin(x) \times ln( ln(x) ) )' = \\ = \cos(x) \times ln( ln(x) ) + \frac{1}{ ln(x) } \times \frac{1}{x} \times \sin(x) = \\ = \cos(x) \times ln( ln(x) ) + \frac{ \sin(x) }{x ln(x) }$

$y' = {( ln(x)) }^{ \sin(x) } \times ( \cos(x) \times ln( ln(x) ) + \frac{ \sin(x) }{x ln(x) } )$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = (ln(x))^sin(x) мы воспользуемся правилом производной сложной функции (цепного правила).

Давайте обозначим две части функции:

u = ln(x) v = sin(x)

Тогда y = u^v.

Теперь найдем производные u и v:

du/dx = (1/x) dv/dx = cos(x)

Теперь применим правило производной сложной функции (цепное правило):

dy/dx = dy/du * du/dx + dy/dv * dv/dx

Для нашей функции:

dy/du = v*u^(v-1) dy/dv = ln(u)*u^v * ln(10)

Теперь подставим значения и получим:

dy/dx = (v*u^(v-1)) * (1/x) + (ln(u)*u^v * ln(10)) * cos(x)

Теперь у нас есть производная функции y = (ln(x))^sin(x) по переменной x:

dy/dx = (sin(x) * (ln(x))^(sin(x)-1)) * (1/x) + (ln(ln(x)) * (ln(x))^sin(x) * sin(x) * ln(10)) * cos(x)

Это и есть производная данной функции.