Question

Помогите, пожалуйста, решить : если |z| = 1 , то z-1/z+1 является мнимым числом!?

Answer 1

Ответ:

Да, $\frac{z - 1}{z + 1}$ является чисто мнимым числом.

Объяснение:

Рассмотрим выражение $\frac{z - 1}{z + 1}$:

Представим его в алгебраической форме: $\frac{a + bi - 1}{a + bi + 1} = \frac{(a - 1) + bi}{(a+1) + bi}$.

Домножим числитель и знаменатель дроби на комплексно сопряжённое знаменателю:

$\frac{((a-1) + bi)((a+1)-bi)}{((a+1)+bi)((a+1)-bi)} = \frac{a^2 + b^2 + 2bi - 1}{a^2+2a+1+b^2}.$

Знаменатель $a^2 + 2a + 1 + b^2$ уже действительный.

Рассмотрим числитель $a^2 + b^2 + 2bi - 1$:

Число будет чисто мнимым, если $a^2 + b^2 - 1 = 0$, то есть $a^2 + b^2 = 1$. А как известно, модуль исходного комплексного числа равен единице, то есть условие соблюдается. Таким образом, $\frac{z - 1}{z + 1}$ является чисто мнимым числом.

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение z - 1/z + 1 и определим, будет ли оно мнимым числом, если |z| = 1.

Сначала выразим общий знаменатель:

z - 1/z + 1 = (z^2 - 1 + z) / z

Теперь мы знаем, что |z| = 1, что означает, что модуль комплексного числа z равен 1. Модуль комплексного числа определяется как:

|z| = √(Re(z)^2 + Im(z)^2)

где Re(z) - действительная часть z, а Im(z) - мнимая часть z.

Если |z| = 1, это означает, что:

√(Re(z)^2 + Im(z)^2) = 1

Теперь вернемся к выражению:

(z^2 - 1 + z) / z

Если |z| = 1, то z может быть представлено в тригонометрической форме как:

z = cos(θ) + i*sin(θ),

где θ - некоторый угол.

Теперь мы видим, что:

Re(z) = cos(θ) Im(z) = sin(θ)

Подставим это в уравнение |z| = 1:

√(cos(θ)^2 + sin(θ)^2) = 1

Так как cos(θ)^2 + sin(θ)^2 всегда равно 1 для любого угла θ, то это уравнение верно.

Теперь вернемся к выражению:

(z^2 - 1 + z) / z

Подставляя z = cos(θ) + i*sin(θ), получим:

((cos(θ) + isin(θ))^2 - 1 + cos(θ) + isin(θ)) / (cos(θ) + i*sin(θ))

Разложим это выражение:

(cos(θ) + isin(θ))^2 = cos^2(θ) - sin^2(θ) + 2i*cos(θ)*sin(θ)

Подставим обратно:

((cos^2(θ) - sin^2(θ) + 2icos(θ)sin(θ) - 1 + cos(θ) + isin(θ)) / (cos(θ) + i*sin(θ))

Теперь упростим числитель:

cos^2(θ) - sin^2(θ) - 1 + cos(θ) + i*(2*cos(θ)*sin(θ) + sin(θ))

Мы видим, что мнимая часть числителя (i-часть) равна sin(θ) + 2*cos(θ)*sin(θ), которая не всегда равна нулю. Поэтому выражение z - 1/z + 1 не является всегда мнимым числом, даже если |z| = 1.