Question

на доске написано 48 различных целых чисел. Каждое число возвели либо в квадрат , либо в куб и результат записали вместо первоночального числа. Какое наименьшее количество различных чисел много оказаться записано на доске?​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Наименьшее количество чисел может бить 16=48:3

Если у нас числа ±10^к и 10^р, и если 2к=3р, то из 3 различних чисел после возведения в степень будем иметь оно число

Например, к=3, р=2 : ±1000 и 100

(±1000)^2=1000000 и 100^3=1000000

Answer 2

Для решения этой задачи давайте рассмотрим, какие числа могут быть представлены на доске, если каждое число либо возводится в квадрат, либо в куб.

Изначально у нас есть 48 различных целых чисел. Если число $a$ возвести в квадрат, мы получим $a^2$, и если возвести в куб, то получим $a^3$. Поскольку мы имеем 48 различных чисел, максимально можем получить $48 \times 2 = 96$ различных значений (48 квадратов и 48 кубов).

Однако, если у нас есть два различных числа $a$ и $b$, и $a^2 = b^3$, то у нас будет только одно уникальное значение на доске. То же самое касается и случая, когда $a^3 = b^2$. Таким образом, нам нужно учитывать возможные совпадения в квадратах и кубах.

Для минимизации количества различных чисел, нужно найти такие различные целые числа $a$ и $b$, что $a^2 = b^3$. Такие числа называются числами вида $n^6$ (где $n$ - целое число). Если мы возьмем 48 различных значений для $n$, то мы получим 48 уникальных чисел на доске.

Таким образом, наименьшее количество различных чисел, которые могут оказаться записанными на доске, равно 48.