Question

А)Общее дифферциальное уравнение у''-4у'+8у=0 Б)частное решение дифферциального уравнения пункта (а), учитывая следующие условия: у(0)=0 и у'(0)=2

Answer 1

Ответ:

а

$y'' - 4y' + 8y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} - 4k + 8 = 0 \\ D = 16 - 32 = - 16 \\ k_1 = \frac{4 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{4 + 4i}{2} = 2 + 2 i \\ k_2 = 2 - 2i \\ \\ y = {e}^{2x} (C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x) )$

общее решение

б

$y(0) = 0,y'(0) = 2$

$y' = 2 {e}^{2x} (C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x) ) + {e}^{2x} (2C_1 \cos(2x) - 2C_2 \sin(2x)) = \\ = {e}^{2x} ((2C_1 - 2C_2) \sin(2x) + (2C_1 + 2C_2) \cos(2x))$

$\left \{ {{C_2 = 0} \atop {2C_1 + 2C_2 =2 } } \right. \\ \\ \left \{ {{C_2 = 0} \atop {C_1 = 1 - C_2 = 1} } \right.$

Частное решение:

$y = {e}^{2x} \sin(2x)$

Answer 2

Для решения данного общего дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

у'' - 4у' + 8у = 0

Давайте сначала найдем характеристическое уравнение. Предположим, что решение имеет вид e^(rt), где r - неизвестная. Подставим его в уравнение:

r^2 - 4r + 8 = 0

Теперь используем квадратное уравнение. Дискриминант D равен:

D = (-4)^2 - 4 * 1 * 8 = 16 - 32 = -16

Дискриминант отрицательный, что означает, что характеристическое уравнение имеет комплексные корни:

r1 = (-(-4) + √(-16)) / 2 = 2 + 4i r2 = (-(-4) - √(-16)) / 2 = 2 - 4i

Теперь мы знаем, что общее решение будет иметь вид:

у(t) = c1 * e^(2t) * cos(4t) + c2 * e^(2t) * sin(4t)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь, чтобы найти частное решение, учитывая начальные условия, мы можем использовать уравнения:

у(0) = 0 у'(0) = 2

Подставим их в наше общее решение:

у(0) = c1 * e^(0) * cos(0) + c2 * e^(0) * sin(0) = c1 * 1 * 1 + c2 * 1 * 0 = c1 = 0

Теперь у нас осталось только уравнение:

у'(0) = c1 * e^(0) * (-4 * sin(0)) + c2 * e^(0) * (4 * cos(0)) = -4c1 + 4c2 = 2

Мы уже знаем, что c1 = 0, поэтому:

-4 * 0 + 4c2 = 2 4c2 = 2 c2 = 1/2

Таким образом, частное решение с учетом начальных условий будет:

у(t) = (1/2) * e^(2t) * sin(4t)

Это и есть частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.