Question

Найдите d^2 z ,если z=e^xy.​

Answer 1

Ответ:

$z=e^{xy}\\\\z'_{x}=e^{xy}\cdot y\ \ ,\ \ \ z'_{y}=e^{xy}\cdot x\ \ ,\\\\\\z''_{xx}=y\cdot e^{xy}\cdot y=y^2\cdot e^{xy}\ \ \ ,\ \ \ z''_{yy}=x\cdot e^{xy}\cdot x=x^2\cdot e^{xy}\ \ ,\\\\\\z''_{xy}=e^{xy}\cdot x\cdot y+e^{xy}\cdot 1=e^{xy}\cdot (xy+1)\\\\\\d^2z=z''_{xx}\, dx^2+2\, z''_{xy}\, dx\, dy+z''_{yy}\, dy^2\\\\\\d^2z=y^2\cdot e^{xy}\cdot dx^2+2\cdot e^{xy}\cdot (xy+1)\cdot dx\cdot dy+x^2\cdot e^{xy}\cdot dy^2$

Answer 2

Для нахождения второй производной z = e^xy по переменным x и y можно воспользоваться правилами дифференцирования. Давайте начнем с нахождения первой производной и затем найдем вторую производную.

Первая производная z по x:

dz/dx = (d/dx)(e^xy)

Для вычисления этой производной, мы можем использовать правило умножения функции e^xy на производную xy:

dz/dx = e^xy * (d/dx)(xy)

Теперь продифференцируем xy по x:

(d/dx)(xy) = x * (d/dx)(y) + y * (d/dx)(x)

(d/dx)(y) равно 0, так как y не зависит от x, и (d/dx)(x) равно 1. Таким образом,

(dz/dx) = e^xy * (x * 0 + y * 1) = ye^xy

Теперь найдем вторую производную z по x:

(d^2z/dx^2) = (d/dx)(ye^xy)

Используем правило умножения функции ye^xy на производную xy:

(d/dx)(ye^xy) = (d/dx)(y) * e^xy + y * (d/dx)(e^xy)

(d/dx)(y) равно 0, и мы уже вычислили (d/dx)(e^xy), поэтому:

(d^2z/dx^2) = 0 + y * (ye^xy) = y^2e^xy

Теперь найдем вторую производную z по y:

(d^2z/dy^2) = (d/dy)(ye^xy)

Используем правило умножения функции ye^xy на производную xy:

(d/dy)(ye^xy) = (d/dy)(y) * e^xy + y * (d/dy)(e^xy)

(d/dy)(y) равно 1, и (d/dy)(e^xy) равно x * e^xy, поэтому:

(d^2z/dy^2) = 1 * e^xy + y * (x * e^xy) = e^xy + xy * e^xy

Итак, вторые производные z = e^xy по переменным x и y равны:

(d^2z/dx^2) = y^2e^xy (d^2z/dy^2) = e^xy + xy * e^xy