Question

Помогите понять решить подробно и понять решение. докажите что все точки M(x) координата которых удовлетворяет условию Ix-aI+Ib-xI=Ib-aI заполняют отрезок с концами a, b.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

|m|+|n|≥|m+n|

Равенство в этом неравенстве достигается только при совпадении знаков m и n. Или же

|m|+|n|=|m+n|⇔m·n≥0

Из чего следует Ix-aI+Ib-xI=Ib-aI при выполнении одного из двух условий: 1) x-a≥0; b-x≥0; 2) x-a≤0; b-x≤0

1) x-a≥0; b-x≥0⇒x≥a; x≤b⇒x∈[a; b]

2) x-a≤0; b-x≤0⇒x≤a; x≥b⇒x∈[b;a]

Как видно в обоих случаях решением является отрезок с концами a, b

Answer 2

Для того чтобы доказать, что все точки M(x), координаты которых удовлетворяют уравнению:

|Ix - a| + |b - x| = |b - a|

заполняют отрезок с концами a и b, нам нужно рассмотреть несколько случаев. Для начала заметим, что данное уравнение состоит из модулей (абсолютных значений), и это позволяет разбить его на несколько подслучаев в зависимости от положения x относительно a и b.

Случай 1: x < a

В этом случае уравнение примет вид:

|x - a| + |b - x| = b - x - (a - x) = b - a

Следовательно, для x < a точки M(x) будут лежать на отрезке [a, b], так как сумма модулей в этом случае равна |b - a|.

Случай 2: a ≤ x ≤ b

В этом случае уравнение будет:

|x - a| + |b - x| = x - a + (b - x) = b - a

И снова получаем, что для всех точек M(x) в этом диапазоне x будет лежать на отрезке [a, b].

Случай 3: x > b

Для этого случая уравнение становится:

|x - a| + |b - x| = (x - a) + (x - b) = 2x - a - b

В этом случае сумма модулей не будет равна |b - a|, но равна 2x - a - b, что больше. То есть, точки M(x) с x > b не лежат на отрезке [a, b].

Итак, мы видим, что для всех точек M(x), где x ≤ b, координаты удовлетворяют условию |Ix - a| + |b - x| = |b - a| и лежат на отрезке [a, b]. Однако, для x > b, условие не выполняется, и точки M(x) не лежат на данном отрезке.

Таким образом, доказано, что все точки M(x), координаты которых удовлетворяют уравнению |Ix - a| + |b - x| = |b - a|, заполняют отрезок с концами a и b.